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准考证号 考场座位号 姓名 学校 2006 年 理 科 实 验 班 招 生数学素质测试试题题号一二三总分123456得分评卷人一、选择题(每小题5分,满分30分。以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填得0分。)1、已知实数a、b、c满足,那么的值为( )A、0B、16C、16D、322、设是方程的两个实数根,则的值是( )A、1B、1C、D、3、a、b、c均不为0,若,则不可能在( )A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4、在中,下列结论成立的是( )A、B、C、D、与大小关系不确定5、已知关于的不等式的解也是不等式的解,则a的取值范围是( )BADECFG113A、B、C、D、6、如图, DEFG内接于,已知、的面积为1、3、1,那么 DEFG的面积为( )A、B、2C、3D、4 第6题图 得分评卷人二、填空题(每小题5分,共30分)1、已知质数x、y、z满足,则= 。2、已知点A(1,3),B(4,1),在x轴上找一点P,使得APBP最大,那么P点的坐标是 。3、已知AB是O上一点,过点C作O的切线交直线AB于点D,则当ACD为等腰三解形时,ACD的度数为 。4、已知二次函数 的图像顶点为A,与x轴交点为B、C,则tanABC 。5、如图,ABC内接于O,BC = a,CA = b,AB = 90,则O的半径为 。6、x、y为实数,则使成立的最大常数c = 。三、解答题(每题15分,共90分)得分评卷人1、10位小运动员,他们着装的运动服号码分别是110,能否将这10位运动员按某种顺序站成一排,使得每相邻3名运动员号码数之和都不大于15?得分评卷人2、如图设四边一菜ABCD为菱形,点E、F分别位于边AB、BC上,AD=6,AE=5BE,BF=5CF,若DEF为等边三角形。(1)求A的度数;(2)求菱形ABCD的面积。得分评卷人3、已知关于x的方程和。问是否存在这样的a值,使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根?若存在,求出这样的a值;若不存在,请说明理由。得分评卷人4、某商场在促销期间规定:商场所有商品按标价的80%出售,同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,可按如下方案获得相应金额的奖券:消费金额w(元)的范围200w400400w500500w700700w900获得奖券的金额(元)3060100130根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如,购买价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠为:4000.230 = 110(元)。(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在500x800(元)的商品,顾客购买标价为多少元商品,可得到不小于的优惠率。得分评卷人BCAD5、如图,凸四边形ABCD内接于O, = =90,AB+CD为一偶数。求证:四边形ABCD面积为一完全平方数。得分评卷人6、已知二次函数。记当时,函数值为yc,那么,是否存在实数m,使得对于满足的任意实数a,b,总有。2006 年 理 科 实 验 班 招 生数学素质测试试题参考答案及评分标准一、选择题1、(C)2、(A)原方程即为,即所以,故.3、(A)ADBC由知,又,所以a、b、c三个数中只有一个为负数。因此ab,bc不可能同时为正,即P(ab,bc)不可能在第一象限。4、(B)如图,在BC是取一点D,连结AD使ADB=B,得AD=AB因ADB=CCAD,而ADB=B=2C,有C=CAD,从而CD=AD。在ACD中,ACCD+AD=2AD=2AB,即AC2AB . 第4题图5、(C)由得对于不等式,当a0时,x7a,则x7a的解不全是的解,不合题意;当a0时,x7a,则x7a的解也是的解,必有,解得,故有。6、(D)如图,过点A作AODG交于BC于点O,则有又 即由得于是SABC = 9,故SDEFG=9(1+3+1)= 4二、填空题1、26由知,即y,z之一为19,不妨设y=19,则z=x-3,x-z=3.因x,z均为质数,x-z=3,一定有一个数为2,即z=2,x=5.所以.2、作B点关于x轴的对称点B,点B的坐标为(4,1)。由几何知识可知,在x轴上,使AP-BP最大的P点应是AB所在的直线与x轴的交点,可求得AB所在直线的方程为令y=0,得3、30或120如图(1),当D在BA的延长线上时,由ACD是锐角得AD=AC.因OCA=CAO=2ACD,所以ACD+OCA=3ACD=90,ACD =30如图(2),当D在AB的延长线上时,由ACD为钝角,得AC=CD因OCD=2A=2D,而COD+D=3D=90,D =30,故ACD=90+A=1204、如图,设二次函数的图像与x轴交于两点,B(x1,0),C(x2,0)因即a0,故所以又顶点,即故5、如图,连结CO交O于DABD=90+B而A=90+BBDACACDCDBABD=A即 = , =故O的半径为6、令x=y=1,则当时,=故使原不等式成立的最大常数为三、解答题1、解:不能因为所有号码的总和为55,如果每相连的3个号码数都不大于15,则前9个号码数的和不大于315=45,故第10个号码数不小于10,从而,只能为10。同理,后9个号码数的和不大于45,故第1个号码数不小于10,因此,也必须为10,这是不可能的。2、(1)如图,过E作AD、BC的垂线交AD和CB的延长线于H、G。AB=AD=6AE=BF=5,CFBE=1令BG=x,GE=y,显然BGEAHE,易得EH=5y,AH=5x在FGE中,在DEH中,根据EF=ED,BE=1,易得EF2=ED2。BE2=1,即有由得由得故,从而因此(2)由以上求得知,故3、第一个方程,即有故由第二方,得若x3为整数,则,解得或2,此时或5若x4为整数,则,即,此方程无有理根综上可知,当或2时,第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根。4、解(1)(2)商品的标价为x元,则,消费额:,由已知得 或不等式()无解,不等式()的解为因此,当顾客购买标价在元内的商品时,可得到不小于的优惠率。ADBC5、证法1: = ,ABDC,ABCD为梯形。过O作MNAB于M交CD于N,易知MNCD于N,由垂径定理知M为AB中点,N为CD中点,连结OA、OD。AOD=90,AOM=90DON=ODN,从而有 AB+CD为偶数,SABCD必是完全平方数。证法2:连结OA、OB、OC、OD,设O半径为R,COD=a,易知AOB=180a 。于是 延长AO交O于K,连结BK易证,在RtABK中,即又即将、代入 AB+CD为一偶数SABCD必是完全平方数6、设在的最小值为M,原问题等价于二次函数的图像是一条开口向上的抛的线当对称轴时,由图像可知,时,这时成立。当对称轴,时,由图像可知时,且,这时有,故有当对称轴,时,由图像可知,时,且,这时有与矛盾。综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是
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