1,信号和系统的分析方法有两种 时域分析方法 频率分析方法 序列的频域分析 z变换 序列的傅里叶变换(离散时间傅里叶变换),2.6 离散时间傅里叶变换（DTFT） （序列的傅里叶变换）,2,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述,3,离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义 ：,正变换,逆变换,上式的积分区间可以是(0,2)或其他任何一个周期。,X(ej)是x(n)的频谱密度，简称为频谱，它是的复函数。,4,5,它们都是的连续、周期（周期为2）的函数,6,离散时间傅里叶变换是序列的z变换在单位园上的取值。,x(n)的z变换：,x(n)的DTFT：,7,若序列x(n)满足绝对可和， 即满足下式：,此时，DTFT等号右边的级数一致收敛于,若序列x(n)满足平方可和， 即满足下式：,此时，DTFT等号右边的级数均方收敛于,8,例1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的DTFT 解:,级数一致收敛于,设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图所示:,9,R4(n)的幅度与相位曲线,10,例2 设 X(e j)=DTFTx(n), 求 x(-n)、x*(n)、x*(-n)的傅里叶变换。 解：,令m=-n,11,2.7 序列傅里叶变换的性质 1. DTFT的周期性,因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。,12,2. 线性,那么,设,式中a, b为常数,3. 乘以指数序列,13,x(n)乘以复指数序列，也称调制性,4. 时移与频移 设X(e j)=DTFTx(n)， 那么,),14,5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ej)=X(ej)H(ej) 证明：,令k=n-m,15,6. 频域卷积定理 设 y(n)=x(n)h(n) ，,证明：,则,16,7. 帕斯维尔(Parseval)定理,证明：,信号时域的总能量等于频域的总能量,17,表 1 序列傅里叶变换的性质,18,表 2 基本序列的傅里叶变换,19,2.9 DTFT的对称性 若 xe (n)=x*e (-n) 称xe(n)为共轭对称序列。 xo (n)=-x*o (-n) 称xo(n)为共轭反对称序列。,对于一般序列 x(n)=xe(n)+xo(n),20,x*(-n)=xe*(-n)+xo*(-n)=xe(n)-xo(n),x(n)=xe(n)+xo(n),21,也可将 x(n)表示成实部和虚部的形式： x(n)=xr(n)+jxi(n) x*(n)=xr(n)-jxi(n) 则 xr(n)=(1/2)x(n)+ x*(n) xi(n)=(1/2j)x(n)- x*(n),22,同理对于频域函数 X(ej) Xe(ej)=X*e(e-j) Xo(ej) =-X*o(e-j) X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) X*(e-j)=Xe*(e-j)+Xo*(e-j),23,也可将X(ej)写成实部和虚部的形式： X(ej)= XR(ej) + jXI(ej) X*(ej)= XR(ej) -jXI(ej) 则： XR(ej)=（1/2）X(ej)+ X*(ej) XI(ej)=（1/2j）X(ej)- X*(ej) 或 jXI(ej)=（1/2）X(ej)- X*(ej),24,(a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) x*(n)=xr(n)-jxi(n) 则 xr(n)=(1/2)x(n)+ x*(n) xi(n)=(1/2j)x(n)- x*(n) 将上式进行DTFT， 得到,25,而,序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。,26,(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n)， x*(-n)=xe(-n)-xo(-n),将上面两式分别进行DTFT， 得到 DTFTxe(n)=(1/2)X(ej)+X*(ej) = ReX(ej)=XR(ej) DTFTxo(n)=(1/2)X(ej)-X*(ej) = jImX(ej)=jXI(ej),27,序列的共轭对称部分xe(n)对应着DTFT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着DTFT的虚部jXI(ej) 。,28,若序列h(n)是实序列， 则其DTFT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej)= He*(e-j) H(ej)=He(ej)= HR(ej)+j HI(ej) He*(e-j)=HR(e-j)-j HI(e-j) HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j),29,实序列的DTFT的实部是偶函数，虚部是奇函数； 实序列的DTFT的模是偶函数，相位为奇函数。,对于实序列，一般只需分析 之间的离散时间傅里叶变换。,30,2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应,2.10.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),(2.10.1),一般称H(e j)为系统的频率响应或传输函数，它表征系统的频率特性。,31,设h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程，,(2.10.2),而,进行z变换，得到系统函数的一般表示式,32,如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：,(2.10.3),上式即为离散时间傅里叶变换与z变换的关系。,33,2.10.2由系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性： (1) 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 (2)系统稳定要求,对照z变换定义，z变换收敛域应满足：,比较得：|z|=1 ，即系统稳定要求收敛域包含单位圆。,(3)如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|， 0r1,34,例： 已知,分析其因果性和稳定性。,解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。 (1)收敛域1|a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。 单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n) 。 (2)收敛域0|z|a|1,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)。 (3)收敛域|a|z|a-1|，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|。,35,2.10.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(2.10.2)式因式分解，得到,(2.10.4),式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。 将(2.10.4)式分子分母同乘以z N+M，得到,36,设系统稳定，将z=e j，得到传输函数,(2.10.5),(2.10.6),设N=M，由(2.10.6)式得到,(2.10.7),37,在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示，同样ej-dr用极点指向ej点B的向量 表示，如图2.10.2所示。,和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用 极坐标表,将 和 表示式代入(2.10.7)式，得到,38,图2.10.2 频响的几何表示法,39,(2.10.8),(2.10.9),若MN,40,系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.10.8)式和(2.10.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.10.8)式(2.10.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。 （1）极点：在极点频率处， |H(e j)|出现峰值，极点离单位圆越近，峰值越大；极点在单位圆上，峰值无穷大。 （2）零点：在零点频率处， |H(e j)|出现谷值，零点离单位圆越近，谷值越低；零点在单位圆上，谷值为零。 对于实序列x(n)或h(n) ，|X(ej)|和|H(e j)|是偶对称的，argH(ej)奇对称的。它们的数学表达式或图形只需给出 =0- 部分。,41,例2.10.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性。 解：由H(z)=z-1， H(e j)= e -j 极点为z=0， 幅度特性 |H(e j)|=1, 相位特性()=-， 频响如图2.10.3所示。 用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,42,图2.10.3 H(z)=z-1的频响,43,例 2.10.3 设一阶系统的差分方程为 y(n)=by(n-1)+x(n) 用几何法分析其幅度特性。 解：由系统差分方程得到系统函数为,极点z=b，零点z=0 当B点从=0逆时旋转时，在=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。 在=时形成波谷。z=0处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.10.4所示。,44,图2.10.4 例2.10.3插图,45,2.10.4 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性 解：,零点：,H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.10.5所示。当从零变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,(N-1)。称这种滤波器称为梳状滤波器。,46,图2.10.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性,47,例2.10.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解：,零点： 极点：,设N=8，z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图2.10.6所示。,阶零点 ,(1=e j2k),48,图2.10.6 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性,