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1最大公约数与最小公倍数应用(一)一、知识要点:1、性质 1:如果 a、b 两数的最大公约数为 d,则 a=md,b=nd,并且(m,n)=1。例如:(24,54)=6,24=46,54=96, (4,9)=1。2、性质 2:两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a 与 b 的最小公倍数a,b是 a 与 b 的所有倍数的最大公约数,并且ab=a,b(a,b) 。例如:(18,12)= ,18,12= (18,12)18,12=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。3、辗转相除法二、热点考题:例 1 两个自然数的最大公约数是 6,最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。(运用性质 2)练一练:甲数是 36,甲、乙两数的最大公约数是 4,最小公倍数是 288,求乙数。例 2 两个自然数的最大公约数是 7,最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。分析与解:如果将两个自然数都除以 7,则原题变为:“两个自然数的最大公约数是 1,最小公倍数是 30。这两个自然数的和是 11,求这两个自然数。”例 3 已知 a 与 b,a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15,a,b,c 的最小公倍数是 120,求 a,b,c。分析与解:因为 12,15 都是 a 的约数,所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数,即是12,15=60 的倍数。再由a,b,c=120 知, a 只能是 60 或 120。a,c=15,说明 c 没有质因数 2,又因为a,b,c=120=2335,所以 c=15。练一练:已知两数的最大公约数是 21,最小公倍数是 126,求这两个数的和是多少?例 4 已知两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,求这两个自然数。例 5 已知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数。习 题 四1已知某数与 24 的最大公约数为 4,最小公倍数为 168,求此数。2已知两个自然数的最大公约数为 4,最小公倍数为 120,求这两个数。3已知两个自然数的和为 165,它们的最大公约数为 15,求这两个数。4已知两个自然数的差为 48,它们的最小公倍数为 60,求这两个数。25已知两个自然数的差为 30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450,求这两个自然数。6已知两个自然数的和为 900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。7、五年一班去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐 6 个,如果减少一条船,正好每船坐 9 人,这个班有多少人?8、一个数被 2 除余 1,被 3 除余 2,被 4 除余 3,被 5 除余 4,被 6 除余 5,此数最小是几?9、已知 A 与 B 的最大公约数为 6,最小公倍数为 84,且 AB42,求 B。10、已知 A 和 B 的最大公约数是 31,且 AB5766,求 A 和 B。11、有一盘水果,3 个 3 个地数余 2 个,4 个 4 个数余 3,5 个 5 个数余 4 个,问这个盘子里最少有多少个水果?家 庭 练 习1.拖拉机前轮直径 64 厘米,后轮直径 96 厘米,拖拉机开动后,前轮至少转多少圈,才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地?2.现在有香蕉 42 千克,苹果 112 千克,桔子 70 千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班?每个班至少分到了三种水果各多少千克?3、一个数被 2 除余 1,被 3 除余 2,被 4 除余 3,被 5 除余 4,被 6 除余 5,此数最小是几?4、将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。5、两个自然数的最大公约数是 12,最小公倍数是 72。满足条件的自然数有哪几组?3例 1 用自然数 a 去除 498,450,414,得到相同的余数,a 最大是多少?分析与解:因为 498,450,414 除以 a 所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求数是(48,36,84)=12。例 2 现有三个自然数,它们的和是 1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?分析与解:只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是 1111,它们的公约数一定是 1111 的约数。因为 1111=10111,它的约数只能是 1,11,101 和 1111,由于三个自然数的和是 1111,所以三个自然数都小于 1111,1111 不可能是三个自然数的公约数,而101 是可能的,比如取三个数为 101,101 和 909。所以所求数是 101。练习:1、在 1000 到 2000 之间,能同时被 6、8、10 这三个自然数整除的自然数一共有几个?2、三个连续偶数,它们分别是 12、14、16 的倍数,比它们大的这样三个偶数最小各是多少?3、四个连续自然数,它们分别是 6、7、8、9 的倍数,比它们大的这样四个自然数最小各是多少?4、甲、乙、丙三人沿 600 米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步,甲每秒跑 3 米,乙每秒跑 4 米,丙每秒跑 2 米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发?5、两数的乘积是 9000,它们的最大公因数是 15,这个两数各是多少?6、甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要 1 分、1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?47、两个小于 150 的数的积是 2028,它们的最大公约数是 13,求这两个数。8、有一堆桔子,按每 4 个一堆分少 1 个,按每 5 个一堆分也少 1 个,按每 6 个一堆分还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个?【例 3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛,狐狸每次跳 4.5 米,袋鼠每次跳 2.75 米,它们每秒都只跳一次。比赛途中,从起点开始,每隔 12.375 米设一个陷阱,当它们之中一个先掉进陷阱时,另一个跳了多少米?【例 5】用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体搭一个正方体,至少需要多少块这样的长方体木块?【例 6】 (1)A、B 两数的乘积是 216,它们的最小公倍数是 36。 A、B 两数的最大公因数是多少? (2)甲乙两数的最小公倍数是 288,最大公因数是 4,甲数是 36,乙数是多少?【例 7】 加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件,第二道工序每个工人每小时可完成 10 个,第三道工序每个工人每小时可完成 5 个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?练习:1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是 54,甲数是多少?乙数是多少?2.一块长方形地面,长 120 米,宽 60 米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?每相邻两棵之间的距离是多少米?3.已知两个自然数的积是 5766,它们的最大公约数是 31.求这两个自然数。4有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗,一共用了 91 个碗。参加野炊的至少有多少同学?5带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:163=51,即 16=53+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b0) ,那么一定有另外两个整数 q 和r,0rb,使得 a=bq+r。当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时,我们称 a 不能被 b 整除,r 为 a 除以 b 的余数,q 为 a 除以 b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为 ab=qr,0rb。例 1 一个两位数去除 251,得到的余数是 41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题,且要求的数是大于 41 的两位数.解题可从带余除式入手分析。解:被除数除数=商余数,即被除数=除数商+余数,251=除数商+41,251-41=除数商,210=除数商。210=2357,210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70,其中 42 和70 大于余数 41.所以除数是 42 或 70.即要求的两位数是 42 或 70。例 2 用一个自然数去除另一个整数,商 40,余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是 933,求被除数和除数各是多少?解:被除数=除数商+余数,即被除数=除数40+16。由题意可知:被除数+除数=933-40-16=877,(除数40+16)+除数=877,除数41=877-16,除数=86141,除数=21,被除数=2140+16=856。答:被除数是 856,除数是 21。例 3 某年的十月里有 5 个星期六,4 个星期日,问这年的 10 月 1 日是星期几?解:十月份共有 31 天,每周共有 7 天,31=74+3,根据题意可知:有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的 10 月 1 日是星期四。例 4 3 月 18 日是星期日,从 3 月 17 日作为第一天开始往回数(即 3 月 16 日(第二天) ,15 日(第三天) ,)的第 1993 天是星期几?解:每周有 7 天,19937=284(周)5(天) ,从星期日往回数 5 天是星期二,所以第 1993 天必是星期二.例 5 一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 2,求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”6关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以 3 的余数乘以 70,用除以 5 的余数乘以 21,用除以 7 的余数乘以 15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 105,那么就减去 105,直至小于 105 为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下:方法 1:270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是 23。例 5 的解答方法不仅就这一种,还可以这样解:方法 2:3,7+2=2323 除以 5 恰好余 3。所以,符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢?让我们再来看下面两道例题。例 6 一个数除以 5 余 3,除以 6 余 4,除以 7 余 1,求适合条件的最小的自然数。分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除” ,同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被6 整除” 。解:5,6-2=28,即 28 适合前两个条件。想:28+5,6?之后能满足“7 除余 1”的条件?28+5,64=148,148=217+1,又 148210=5,6,7所以,适合条件的最小的自然数是 148。例 7 一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,求符合条件的最小自然数。解:想:2+3?之后能满足“5 除余 3”的条件?2+32=8。再想:8+3,5?之后能满足“7 除余 4”的条件?8+3,53=53。符合条件的最小的自然数是 53。归纳以上两例题的解法为:逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后,为了再满足另一个条件,需做数的调整,调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法,将会在有关“同余”部分讲到。例 8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取 3 个,最后剩 1 个;
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