第三章 空间向量与立体几何,3.1.3 空间向量的数量积运算,根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.,1)两个向量的夹角的定义:,类似地，可以定义空间向量的,数量积,两个向量的夹角是惟一确定的！,2）两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量; 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,A1,B1,B,A,A1,B1,B,A,数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积.,3)空间两个向量的数量积性质,注： 性质 是证明两向量垂直的依据； 性质是求向量的长度（模）的依据.,(4)空间向量的数量积满足的运算律,思考1.,.,思考2.,思考3.,思考4.,课堂练习,解：,3.,另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,逆命题成立吗?,分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,m,n,取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?,共面向量定理,有了!,通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.证明线面垂直; 4.求两直线所成角的余弦值等等.,小结,