第二章 二次函数,2.2 二次函数的图象和性质 第 1 课时,北师大版统编教材九年级数学下册,学习目标,1经历探索二次函数y=x2图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验. 2能用描点法画出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质，说出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3建立二次函数表达式与图象之间的练习，理解表达式中的系数对图象的影响.,情境导入,回忆一次函数的性质是如何研究的?一次函数的图象是什么？,先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.一次函数的图象是一条直线,情境导入,研究二次函数的性质先研究什么? 二次函数的图象是什么呢?,可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象,探究新知,做一做 画出二次函数y=x2的图象,解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：,（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点,探究新知,（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示,【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，资源为探索二次函数y=ax2的图象性质知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。,探究新知,议一议 对于二次函数y=x2的图象， （1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流 （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x0时呢？ （4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的？ （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是多少？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流,探究新知,答：（1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线 （2）图象与x轴有交点，交点坐标是（0，0） （3）当x0时，y的值随x值的增大而减小；当x0时，y的值随x值的增大而增大 （4）当x=0时，y的值最小，最小值是0，通过观察图象可以得到 （5）图象是轴对称图形，对称轴是y轴，对称点有很多，如(-1，1)和(1，1)，(-2，4)和(2，4)等,探究新知,归纳 二次函数y=x2的性质：二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0,（二次函数y=x2图象）,探究新知,做一做 画出二次函数y=-x2的图象，并观察二次函数y=-x2的图象是什么形状？它的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？,解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：,探究新知,（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 （3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y=-x2的图象，如图所示,【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，资源为探索二次函数y=ax2的图象性质知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。,探究新知,由图象可知二次函数y=-x2的图象是一条开口向下的抛物线；图象有最高点，其顶点坐标为（0，0）；当x=0时，y有最大值，最大值为0；对称轴是y轴；当x0时，y的值随x值的增大而增大，当x0时，y的值随x值的增大而减小；图象与x轴有一个交点，交点坐标为（0，0）,（二次函数y=-x2图象）,探究新知,二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象形状相同，但是开口向下，这两个函数的图象关于x轴成轴对称,（二次函数y=x2和y=-x2图象）,典例精析,例 下列说法正确的是（ ） A抛物线y=x2图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 B抛物线y=-x2图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 C抛物线y=x2与y=-x2开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x的增大而增大 D当x0时，y=x2中y的值随x的值增大的变化情况与x0时，y=-x2中y的值随x的值增大的变化情况相同,D,课堂练习,1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的关系的说法错误的是（ ） A抛物线y=x2与y=-x2有相同的顶点和对称轴 B抛物线y=x2与y=-x2关于x轴成轴对称 C抛物线y=x2与y=-x2与x轴交点相同 D点A(-1，1)既在抛物线y=x2上，又在抛物线y=-x2上,D,课堂练习,2在同一平面直角坐标系中，函数y= -1与y=-x2的图象为（ ）,C,课堂练习,3已知a-1，点(a-1，y1)，(a，y2)，(a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y3 4在同一直角坐标系中，抛物线y=x2，y=-x2的共同特点是（ ） A关于y轴对称，抛物线开口向上 B关于y轴对称，y随x的增大而增大 C关于y轴对称，y随x的增大而减小 D关于y轴对称，抛物线顶点在原点,C,D,课堂练习,5若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是_ 6设直线y=ax+b与抛物线y=x2的交点A，B的横坐标分别为3，-1 （1）求a，b的值； （2）设抛物线的顶点为C，求ABC的面积,(-2,4),课堂练习,解：（1）当x=3时，y=32=9； 当x=-1时，y=(-1)2=1 故点A，B的坐标分别为(3，9)，(-1，1) 又点A，B在直线y=ax+b上， 解得,课堂练习,（2）如图，抛物线y=x2的顶点C就是坐标原点O(0，0),a=2，b=3， 直线的解析式为y=2x+3 设直线y=2x+3与y轴的交点为D，则点D的坐标为(0，3) SABC=SBCD+SACD = 31+ 33=6,课堂小结,1二次函数y=x2的图象与性质： （1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称； （2）在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大； （3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0,课堂小结,2二次函数y=-x2的图象与性质： （1）二次函数y=-x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称； （2）在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小； （3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，即当x=0时，y有最大值0,课堂小结,3二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象形状相同，但开口相反，这两个函数的图象关于x轴成轴对称,再见,