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初等数论考试试卷(一)一、单项选择题(每题3分,共18分)1、如果,则( ).A B C D 2、如果,则15( ).A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数( ).A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是( ).2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.三、计算题(每题8分,共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数. (8分)四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.初等数论考试试卷(一)答案一、单项选择题(每题3分,共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的).2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.三、计算题(每题8分,共32分)1、 求136,221,391=?(8分)解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 -(4分) = =104391=40664. -(4分) 2、求解不定方程.(8分) 解:因为(9,21)=3,所以有解; -(2分) 化简得; -(1分)考虑,有, -(2分)所以原方程的特解为, -(1分)因此,所求的解是。 -(2分)3、解同余式. (8分)解 因为(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的个数为3. -(1分)又同余式等价于,即. -(1分)我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),-(2分)即定理4.1中的. -(1分)因此同余式的3个解为, -(1分), -(1分).-(1分)4、求,其中563是素数. (8分)解 把看成Jacobi符号,我们有-(3分)-(2分),-(2分)即429是563的平方剩余. -(1分)四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为=, -(3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -(2分)并且(2,3)=1, -(1分)所以从和有,-(3分)即是整数. -(1分)2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. (11分) 证明 因为, -(3分)所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1,7,1,19,7.对于模5, 的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余, 所以T -(7分)所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 -(1分)3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. (11分) 证明 设是正数,并且, -(3分)如果, -(1分)则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, -(4分)而这与的假设不符, -(2分)即定理的结论成立. -(1分)初等数论考试试卷(二)一、单项选择题 1、( C ).A B C D 02、如果,则=( C ).A B C D 3、小于30的素数的个数(A )A 10 B 9 C 8 D 74、如果,是任意整数,则( A )A B C T D 5、不定方程( A )A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( B )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果,则( D ).A B C D 8、公因数是最大公因数的( A ).A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有( A ).A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( D ).A -3,-2,-1,0,1,2,3 B -6,-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5,6 D 0,1,2,3,4,5,611、因为( B ),所以不定方程没有解.A 12,15不整除7 B (12,15)不整除7 C 7不整除(12,15) D 7不整除12,1512、同余式( B ).A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解二、填空题 1、有理数,能写成循环小数的条件是( b中含有2、5以外的质因数 ).2、同余式有解,而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( =41 ).4、设是一正整数,Euler函数表示所有( 小于 ),而且与( 互素 )的正整数的个数.5、设整数,则( a , b )=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的(各个数位上的)数码的和能被3整除.7、( x ).8、同余式有解,而且解的个数( 3 ).9、在176与545之间有( 22个数 )是17的倍数.10、如果,则=( ab ).11、的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果,那么=( 1 ).三、计算题 1、求24871与3468的最小公倍数? 2、求解不定方程.(8分)3、求,其中563是素数. (8分)4、解同余式.(8分)5、求525,231=?6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解?8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题 1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.(11分)2、证明当是奇数时,有.(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.(11分)4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果是两个整数,则存在唯一的整数对,使得,其中.
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