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线段的垂直平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示:如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且ADBD,若点C在直线m上,则ACBC.定理的作用:证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且ADBD,若ACBC,则点C在直线m上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示:如图3,若直线分别是ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线,则直线相交于一点O,且OAOBOC.定理的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上,则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,则该三角形是钝角三角形.经典例题:例1如图1,在ABC中,BC8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长等于()A6cm B8cmC10cm D12cmB针对性练习:已知:1)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点 AE,如果EBC的周长是24cm,那么BC= D2) 如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,如果BC=8cm,EBC那么EBC的周长是 如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果A=28度,那么EBC是 例2. 已知:如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD上一点,求证:BE=CE。B针对性练习:已知:在ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC 求证:点O在BC的垂直平分线NA OCB例3. 在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50,ABC的底角B的大小为_。B针对性练习:1. 在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40,则底角B的大小为_。例4、如图8,已知AD是ABC的BC边上的高,且C2B,求证:BDACCD.证明:课堂练习:1.如图,AC=AD,BC=BD,则( )A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有( )线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;经过线段中点的直线只有一条;点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5 cm,BC=4cm,那么DBC的周长是( )A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图,在ABC中,AB=AC,O是ABC内一点,且OB=OC,求证:AOBC.6.如图,在ABC中,AB=AC,A=120,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证:CM=2BM. 课后作业:1. 如图7,在ABC中,AC27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,ACE的周长为50,求BC边的长.2. 已知:如图所示,ACB,ADB都是直角,且AC=AD,P是AB上任意一点,求证:CP=DP。角平分线知识要点详解4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4,已知OE是AOB的平分线,F是OE上一点,若CFOA于点C,DFOB于点D,则CFDF. 定理的作用:证明两条线段相等;用于几何作图问题;角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线性质定理的逆定理:在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5,已知点P在AOB的内部,且PCOA于C,PDOB于D,若PCPD,则点P在AOB的平分线上. 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示:如图6,如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、ABC、ACB的平分线,那么: AP、BQ、CR相交于一点I; 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DIEIFI. 定理的作用:用于证明三角形内的线段相等;用于实际中的几何作图问题.(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线 (2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.经典例题:已知:如图,点B、C在A的两边上,且AB=AC,P为A内一点,PB=PC, PEAB,PFAC,垂足分别是E、F。求证:PE=PFB针对性练习:已知:如图所示PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线,它们交于P,PDBM于D,PFBN于F,求证:BP为MBN的平分线。例2、如图10,已知在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,E为BC中点,连接AE、DE,DE平分ADC,求证:AE平分BAD.课堂笔记:B针对性练习:如图所示,AB=AC,BD=CD,DEAB于E,DFAC于F,求证:DE=DF。例3、如图11-1,已知在四边形ABCD中,对角线BD平分ABC,且BAD与BCD互补,求证:ADCD.1. ABC中,AB=AC,AC的中垂线交AB于E,EBC的周长为20cm,AB=2BC,则腰长为_。2. 如图所示,AB/CD,O为A、C的平分线的交点,OEAC于E,且OE=2,则AB与CD之间的距离等于_。已知:如图,B=C=900,DM平分ADC, AM平分DAB 。求证: M B=MC课后作业:1.如右图,已知BEAC于E,CFAB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分BAC.2. 如图所示,直线表示三条互相交叉的公路,现在要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处
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