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二、抛物线的焦点弦性质,例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和 抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 (5)以AB为直径的圆与准线相切. (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2p,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (5)以AB为直径的圆与准线相切.,故以AB为直径的圆与准线相切.,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,证明:思路分析:韦达定理,F,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,法3:利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90 。,代入抛物线得y2ms,,练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.,证明:设AB 的方程为=ms(m),(2). 若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证:直线过定点 (s,0)(s0),证明:,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 ,证明: 思路分析|AB|=|AF|+|BF|=,思考:焦点弦何时最短?,过焦点的所有弦中,通径最短,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. (2001年高考题),例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; 2. 求证:直线AB过定点; 3. 求弦AB中点P的轨迹方程; 4. 求AOB面积的最小值; 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.,二、抛物线中的直角三角形问题,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;,解答 (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0),, OAOB kOAkOB=-1, x1x2+y1y2=0, y12 = 2px1,y22 = 2px2, y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (2) 求证:直线AB过定点;,解答(2) y12=2px1,y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2), AB过定点T(2p, 0).,同理, 以代k得B(2pk2, -2pk) .,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (3) 求弦AB中点P的轨迹方程;,即 y02 = px0-2p2, 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2,(3)设OAy = kx,代入y2=2px 得: k 0,,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立.,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (4)求AOB面积的最小值;,(5)法一:设M(x3, y3), 则,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,由(1)知,y1y2=-4p2,,整理得:x32+y32 -2px3=0, 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)., M在以OT为直径的圆上 点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注:此类问题要充分利用(2)的结论., OMT=90, 又OT为定线段,法二: AB过定点T(2p, 0).,7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点,且OAOB, (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,小结:,在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此,在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,应将其剔除;另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”,应将其找回。,
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