分析力学中的计算方法研究第一章引言1.1 研究意义在实验和科学技术实践进一步发展的要求下，通过无数的争论、探讨，力学理论不断地向实用化、普遍化、数学化方面发展。总的来看，经典力学理论在牛顿以后大体是平行地沿着矢量力学和分析力学两个方面发展，前者发展成为当时工程力学各个分支，后者则推动了理论物理学各分支的发展。分析力学不仅用统一的方法解决了各种力学问题，而且其意义远远超出了经典力学的范围。人们发现，能量观点的拉氏方程，哈密顿原理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，无论是在电动力学、统计物理、相对论还是量子力学、量子场论乃至基本粒子领域，都是分析基本问题的基本工具或出发点，分析力学也就成为人们跨入理论物理学和现代物理学的基础学科。1.2 研究目的分 析 力 学 是 一 般 力 学 的 一 个 分 支 。 以 广 义 坐 标 为 描 述 质 点 系 的 变 量 ，以 虚 位 移 原 理 和 达 朗 贝 尔 原 理 为 基 础 ， 运 用 数 学 分 析 方 法 研 究 宏 观 现 象 中 的力 学 问 题 。 1788 年 出 版 的 J.-L.拉 格 朗 日 的 分 析 力 学 为 这 门 学 科 奠 定 了基 础 。 1834 年 和 1843 年 W.R.哈 密 顿 建 立 了 哈 密 顿 原 理 和 正 则 方 程 ， 把 分析 力 学 推 进 一 步 。 1894 年 H.R.赫 兹 提 出 将 约 束 和 系 统 分 成 完 整 的 和 非 完 整的 两 大 类 ， 从 此 开 始 非 完 整 系 统 分 析 力 学 的 研 究 。 分 析 力 学 的 基 本 内 容 是 阐述 力 学 的 普 遍 原 理 ， 由 这 些 原 理 出 发 导 出 质 点 系 的 基 本 运 动 微 分 方 程 ， 并 研究 这 些 方 程 本 身 以 及 它 们 的 积 分 方 法 。 近 20 年 来 ， 又 发 展 出 用 近 代 微 分 几何 的 观 点 来 研 究 分 析 力 学 的 原 理 和 方 法 。 分 析 力 学 是 经 典 物 理 学 的 基 础 之 一 ，也 是 整 个 力 学 的 基 础 之 一 。 它 广 泛 用 于 结 构 分 析 、 机 器 动 力 学 与 振 动 、 航 天力 学 、 多 刚 体 系 统 和 机 器 人 动 力 学 以 及 各 种 工 程 技 术 领 域 ， 也 可 推 广 应 用 于连 续 介 质 力 学 和 相 对 论 力 学 。1.3 研究动态1788 年 拉 格 朗 日 出 版 的 分 析 力 学 是 世 界 上 最 早 的 一 本 分 析 力 学 的著 作 。 分 析 力 学 是 建 立 在 虚 功 原 理 和 达 朗 贝 尔 原 理 的 基 础 上 。 两 者 结 合 ， 可得 到 动 力 学 普 遍 方 程 ， 从 而 导 出 分 析 力 学 各 种 系 统 的 动 力 方 程 。1760 1761 年 ， 拉 格 朗 日 用 这 两 个 原 理 和 理 想 约 束 结 合 ， 得 到 了 动 力 学 的 普遍 方 程 ， 几 乎 所 有 的 分 析 力 学 的 动 力 学 方 程 都 是 从 这 个 方 程 直 接 或 间 接 导 出的 。 1834 年 ， 汉 密 尔 顿 推 得 用 广 义 坐 标 和 广 义 动 量 联 合 表 示 的 动 力 学 方 程 ，称 为 正 则 方 程 。 汉 密 尔 顿 体 系 在 多 维 空 间 中 ， 可 用 代 表 一 个 系 统 的 点 的 路 径积 分 的 变 分 原 理 研 究 完 整 系 统 的 力 学 问 题 。 从 1861 年 有 人 导 出 球 在 水 平 面 上 作 无 滑 动 的 滚 动 方 程 开 始 ， 到 1899年 阿 佩 尔 在 理 性 力 学 中 提 出 阿 佩 尔 方 程 为 止 ， 基 本 上 已 完 成 了 线 性 非 完整 约 束 的 理 论 。 20 世 纪 分 析 力 学 对 非 线 性 、 不 定 常 、 变 质 量 等 力 学 系 统 作 了 进 一 步 研 究 ，对 于 运 动 的 稳 定 性 问 题 作 了 广 泛 的 研 究 。近 20 年 来 ， 又 发 展 出 用 近 代 微 分 几 何 的 观 点 来 研 究 分 析 力 学 的 原 理 和方 法 。1.4 研究方法研究分析力学的方法: (1)建立原理(虚功原理、达朗贝尔原理、哈密顿原理、最小作用量原理);(2)由原理推导方程 (拉格朗日第二类方程、哈密顿正则方程);(3) 解方程即方程式积分(正则变换、泊松定理、哈密顿雅可稗定理)。第二章 建立原理2.1 虚功原理 设某力学组处在平衡状态，在组中任取一质点 Pi，并设作用在质点上的主动力为 ，而约束反作用力为 则：iFiN （1）niNFii 2,10使质点 Pi 产生一个虚位移 ，得：ir（2）niiii 2,10)( 将(2)式中各等式相加，就得到，0)(1 iiini rNF或 。 .1 iniinii rr上式左边第一项为主动力所做的功，第二项为约束反作用力所做功。如为理想约束，则 。01iniirN如力学组处在平衡状态，则其平衡条件是， （3）01iniirFw或 ， （4）0)(1 iiiini ii zZyYxX上式就是虚功原理的数学表示式。从公式可以看出，要使理想约束的力学组平衡，则所有作用在此力学组上诸主动力在任意虚位移下所作的元功之和等于零。上式只在不可解的约束下才能成立，无法求出约束反作用力。这一原理在各种静力学问题中经常用到，在理论上也有很大价值。2.2 达朗贝尔原理动力学一般方程设由 n 个质点组成力学组处在平衡状态，取组中任一质点Pi，并设作用在此质点上的主动力为 ，而约束反作用力为 Ni，则该力学组的iF运动方程可写为： (i=1,2,.) (5)iiii NFdtrm2或 (6) ,2102idtrmiiii上式左边第三项为惯性力。上式就是达朗贝尔原理的数学表示式。从公式可以看出，作用在一力学组中每个质点上的主动力，约束反作用力和惯性力，形成一平衡力系，这个关系叫做达朗贝尔原理。达朗贝尔原理，把作用动力学基本规律的牛顿运动方程加以变换，而作为静力学来处理的原理。2.3 哈密顿原理哈密顿原理是力学里的最高原理，经典力学里最高原理和几何里的公理一样，本可不加证明，只要由它推出的所有论断，不和实际情况相抵触就行。但为了使读者信服起见，我们仍然从达朗贝尔拉格朗日方程导出哈密顿方程。达朗贝尔拉格朗日方程，也就是达朗贝尔原理和虚功原理的结合。由(6)式知道，达朗贝尔原理的数学表示式为: ),21(012 nNFdtrmni iiii 给该力学组里每一质点以虚位移 ，得ir(7)21 0(1,2)nii iiii drmFNrntd=-+=L或 （8）),21(0112 nrNrdtr iniIini iiii 由虚功原理，我们知道（9 ）),21(012 nrFdtrmini iii （10）iiiiiiiii rrdtttr )()()(把(10)代入(9)，得： 021)(1 2 ni iIiiiii rFrmrdtm或 iinini iIii rdtrFr 1122或 iiniini iIii rmtrrm112或 iinittni iIiitt rdrFr 112 2121（11）2121 12 tiinini iIiitt rmdtrrm因为 t=t1，及 t=t2:相当于轨道上的两个端点，故 )2,1(021 nrrtiti 又 Trmrmni iiini 121 )2(（12）21 1 0t nIiitTFrdtd=+=上式就是任意力 F 作用的哈密顿原理的数学表达式。哈密顿原理表述: 保守的、完整的力学组在相同时间内，由某一初形相转移到另一己知形相的一切可能运动中，真实运动的作用函数具有极值(即对于真实运动来讲，作用函数的变分等于零)。哈密顿原理不但可以算作力学里的最高原理，甚至可以算作整个物理学里的最高原理，只要能够写出体系(不一定是力学体系) 的拉格朗日函数，就可以利用哈密顿原理求出体系的运动方程，由此可以想见它在物理学上地位的重要了。2.4 最小作用量原理哈密顿原埋是 1843 年发表的，1744 年莫培督提出了一个和哈密顿原理相类似的原理，他把 iIni i rdVm1叫做作用量，并认为保守的、完整的力学组，由某一初形相转到另一己形相的一切具有相同能量的可能运动中，真实运动的作用量具有极小值，人们后来把这个原理叫做最小作用量原理。它的数学表示式为 0iiBArdVm或21ttTt用来表示不等时的变更，亦称为全变更或全变分。最小作用最原理和哈密顿原理的主要区别在于假定不同，哈密顿原理用了等时的假定，即 ，而最小作用量原理则用了总能量相同的假定，即0t。现在我们从达朗贝尔拉格朗日方程导出最小作用量原理。0E由(9)知道（13）),21(01 nrrmFini ii 或 （14）),(1 rrini ii )()( iiiii rdtrrdtr 而() ()ii idrrrtt dt D=D+Durr 2()()()()i i i i iiii i i id drrrrtrrrtt t =-+=-Duuu（15）把(15)代入(14)，得：（16）21111() ()0nnnnii ii ii ii i i id dFrmrmrrtt =D-D+D+D=uuu由于力学组是保守的，且总能量E=0 ，故（17）1niiiFrVT=-(18)2 21 1()n nii ii imrmrT = =D=Duu因为 及 相当于轨道上的两个端点，故1t2t1 20it itrrD=D=（19）211 0n ti itimrr= =ur把(17)、 （18）和（ 19）代人（16） ，得221111()()()0nnnnii ii ii ii i i id dFrr rmrtt =- +=uuu （20）2()0dTTtD+D=两边乘 dt，得 2()0TdttTdt+=或 tttD+D或 （21）220dtdt=经过积分，得 ()21ttTttD+D或 （22）2 21 1 0t tt tdtTdt=所以 或 （23）210tttD=10nBiiAimUdr=D=这样，我们从达朗贝尔拉格朗日方程导出了最小作用量原理。 莫培督提出最小作用量原理时，没有给予任何证明，所以信服的人不多，故在物理上也就不如哈密顿原理那样重要。不过，我们也不应忽略这一事实，即由于最小作用量原理和光学