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第一章 勾股定理一、勾股定理: 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明:若直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,则a+b=c。 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a+b=c,那么这个三角形是直角三角形。 说明:根据勾股定理的逆定理,可以判定一个三角形是否是直角三角形:若已知三角形的三条边,只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和,若相等,则是直角三角形;若不等,则不是。 勾股数: 满足a+b=c的三个正整数,称为勾股数。 若a,b,c是一组勾股数,则ak,bk,ck(k为正整数),也必然是一组勾股数。 常用的几组勾股数有3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17等,请熟记。 勾股定理的应用: 求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形,利用勾股定理求解,求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为:(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离;(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。二、直角三角形三边之间的关系: 不等量关系是:斜边的长大于每条直角边的长,其依据是“垂线段最短”; 等量关系是:勾股定理,勾股定理是我们求直角三角形边长的依据,在直角三角形中,已知任意两边的长,可求第三边的长。 直角三角形的判别: (1)利用定义,判断一个三角形中有一个角是直角; (2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和,来判定该三角形是直角三角形。三、勾股定理中的方程思想 勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范对于一些几何问题,往往借助于勾股定理,利用代数方法来解决把一条边的长设为未知数,根据勾股定理列出方程,解方程求出未知数的值,即使有时出现了二次方程,大多可通过抵消而去掉二次项。四、勾股定理中的转化思想 在利用勾股定理计算时,常先利用转化的数学思想构造出直角三角形,比如立体图形上两点之间的最短距离的求解,解答时先把立体图形转化为平面图形,在平面图形中构造直角三第二章 实数一、无理数: 无限不循环小数叫做无理数。 说明: 1、无理数有两个本质属性,一是“无限”,二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。 2、虽然从开方运算可以得到无理数,但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的,如圆周率是无理数,它并不是从开方开不尽产生的,因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。 3、判断一个数是否是无理数,要根据定义看其本质属性,不能说“带根号的数是无理数”,事实上=5是有理数而不是无理数。 4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如是无理数,而它的近似值1.4,1.41,1.414,1.4142都是有理数。 无理数与有理数的区别: 1、有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数。 2、所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母为1的分数);而无理数写不成分数的形式,即无理数不能用n/m(n不等于0,m、n是整数)表示。二、实数: 有理数与无理数统称为实数。1、实数的分类:有理数和无理数。 有理数包括(正有理数、0、负有理数)。 无理数包括(正无理数、负无理数)。 正有理数包括(正整数、正分数)。 负有理数包括(负整数、负分数)。 正无理数和负无理数都是无限不循环小数。2、a(a0)实数的性质:实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a0)。3、0 ( a = 0)12实数a的绝对值=4、实数的绝对值性质:-a ( a;a=a; =; =(b);=5、实数的大小: 正数大于0,负数小于0;两个正实数直接比较;两个负实数,绝对值大的反而小。6、实数的运算: 在实数范围内,加、减、乘、除(除数不为零)、乘方及开方运算,有理数的运算法则在实数范围内仍然成立,实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同:先乘方、开方,再算乘除,最后算加减同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号的,先算括号里面的,但开方运算则需注意,负实数只能开奇次方,而不能开偶次方。有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式,在实数范围内同样适用。7、实数和数轴上的点的对应关系: 任何一个有理数,在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应,但是数轴上的点并不都表示有理数,无理数也可用数轴上的点表示,由此可见,数轴上表示有理数的点是不连续的,而有理数、无理数合在一起,才能填满整个数轴,所以数轴上的点和实数一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,8、比较实数大小的方法: 实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大;正数大于零,零大于负数;两个负数进行大小比较时,先比较它们的绝对值,绝对值大的反而小;两个正实数的大小比较,一般采用作差法、作商法、作平方法等。(1)数轴法 在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大。(2)计算法: 直接求实数的值(或近似值),然后根据实数的性质(正数0负数;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而小)进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。(3)特殊性质法: 利用某些数的特殊性质,如: (1)分母相同的两个正分数,分子大的分数较大;分子相同的两个正分数,分母大的反而小; (2)若ab0,则0,(n为正整数)。(4)作差法:对实数a、b,若a-b0,则ab;若a-b0,则ab;若a-b0,则ab。(5)作商法:(1)对a0,b0,若a/b1,则ab;若a/b1,则ab;若a/b=1,则a=b;(2)对a0,b1,则ab;若a/bb;若a/b=1,则a=b。说明:(1)作差法是与0比较,作商法是与1比较。(2)作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时,需分两正数比较和两负数比较两种情况。三、算术平方根: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“”读作“根号a”。说明:0的算术平方根是0,即=0。四、平方根: 一般地,如果一个数x的平方等于a即x=a,那么这个数x和它的相反数X就叫做a的平方根,也叫做二次方根。 平方根的性质:一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数。五、立方根: 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 立方根的性质:正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。 开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,其中a叫做被开方数。六、确定平方根或立方根的大致范围 有些数的平方根或立方根不是有理数,而是无理数,这些数都是开方开不尽的数,我们可以借助平方运算或立方运算,通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围,例如要估算43的大小,要求误差小于O1首先找出43邻近的两个完全平方数,如364349,则364349,即6437,由此可见43的整数部分应是6,然后再由6.52=42.25,6.62=43.56得42.254343.56,得6.5436.6,从而知43的十分位上的数应为5,即436.5或6.6七、通过估算比较两个数的大小 对于含根号的数比较大小,一般可采用下列方法: (1)先估算含根号的数的近似值,再和另一个数进行比较; (2)当符号相同时,把不含根号的数平方(或立方)和被开方数比较,本方法的实质是比较被开方数,被开方数越大,算术平方根(或立方根)越大; (3)若同分母或同分子的,可比较它们分子或分母的大小八、涉及三种非负数的问题 非负数是正数和零的统称,初中数学学习中,常见的非负数有三种;实数的绝对值、实数的平方、非负实数的算术平方根,灵活运用它们值的大小或等于O的特性,对一些问题可找到很好的解决途径。第三章 图形的平移与旋转一、平移: 平移是图形变换的一种基本形式在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移. (1)图形的平移是指整个图形在平面内的平行移动,包括图形上的每一条线、每个点,它由移动的方向和距离决定; (2)确定一个图形平移后的位置的条件是:平移的方向、平移的距离、图形原来的位置; (3)图形的平移是图形的一种变换平移变换,简称平移; (4)平移前后图形的形状、大小都不发生变化。 平移的性质: 经过平移,对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等,对应角相等 (1)在图形的平移变换过程中,要注意图形上的点的对应关系,即要找准对应点,然后找出对应的线(线段)、角、边等; (2)平移后的图形与原图形全等,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,对应点所连的线段既能反映图形平移的方向,也能表示平移的距离(线段的长度)。 平移作图的条件: 平移作图是常见的作图,根据平移的定义可知,要确定一个图形平移后的位置需要三个条件: (1)图形原来的位置; (2)平移的方向; (3)平移的距离三个条件必不可少,若缺少一个条件并不是无法作出平移后的图形,而是作出的图形不惟一。 平移作图的方法: 平移作图的一般步骤为:(1)确定平移的方向和距离,并确定一组对应点;(2)确定图形中的关键点,关键点一般为端点、转折点、交点等,如三角形的三个顶点为关键点,四边形的四个顶点为关键点,圆的关键点为圆心等;(3)利用第一组对应点和平移的性质确定图形中所有关键点的对应点,注意其方法不惟一;(4)按原图形的方式依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形, 利用平移设计图案的一般思路是: (1)确定“基本图案”; (2)把“基本图案”按一定方向、一定距离连续平移,完成图案的设计; (3)设计的图案的主旨和含义要适当、明确,图案设计的自主性很强,同时为了美感和一定的目的要求,是有一定难度的。二、旋转: 在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角 对图形旋转的概念,我们应从以下几个方面理解: (1)旋转中心在旋转的过程中保持不动; (2)图形的旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向来决定的; (3)将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,意味着图形上每一点绕这个定点同时按相同的方向旋转相同的角度; (4)这里“一个角度”指的是大于0而小于360的角;(5)图形的旋转不改变图形的形状、大小 旋转的性质: 由旋转的概念可知旋转的性质为: (1)旋转后的图形与原图形的大小和形状都一样;
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