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圆锥曲线的“内部”作用我们知道,下列不等式:、表示的区域分别是圆的内部、椭圆的内部、抛物线的内部。有关圆锥曲线的问题,我们常常是从定义和性质出发来考虑的,至于圆锥曲线的内部区域往往不被重视,其实圆锥曲线的内部在数学中有许多重要的作用。一、能解决一类直线和圆锥曲线的位置关系例1:直线,与椭圆恒有公共点,求的取值范围。分析:本题的常规解法是用直线的方程与椭圆的方程联立,整理成关于的一元二次方程,利用判别式,但如果利用椭圆的内部,可使问题的解决更简洁明了。因为直线恒过定点,所以直线和椭圆有公共点的充要条件是点在椭圆上或内部。故,又由题设可知且。故二、能解决一类对称问题例2:已知抛物线上有关于直线对称的相异两点,求的取值范围。分析:本题的解法有多种,但都比较繁琐,唯有用抛物线的内部为最简单。设、是抛物线上关于直线对称的两点。则有所以线段AB的中点坐标为,因为点在抛物线内部,所以有,故解之得的取值范围是三、能解决一类最值问题例3:如果实数对表示的点在椭圆上或其内部,求的最大值和最小值。分析:本题并不是很难解决的问题,用切线法或三角代换法能迅速求解。下面给出一种利用椭圆内部的解法。设,所以实数对可写成,因其表示的点在椭圆上或椭圆内部,则有故,即在上有解。利用代数知识可求得故四、能解决一类含绝对值的不等式例4:解不等式分析:在复平面上,不等式表示中心在,以与为焦点,长轴长为8的椭圆内部。而椭圆与实坐标轴的交点为和。所以不等式的解为 (注:素材和资料部分来自网络,供参考。请预览后才下载,期待你的好评与关注!)
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