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“极值法”求数列的最大项数列是一种特殊的函数,其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值,然后通过分析求出数列的最大项.但是如果函数的单调性较难判断,那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列的通项公式,求的最大项.解:设是数列中的最大项,则,即解,得, 又, 或9,.当时,的最大项为.对于这种解法,不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示,加以分析,以探究问题的实质及其解决方法.疑问1:为什么要单独讨论的情况?分析:由于这个不等式中出现了下标,而数列中的项应该从1开始,因此,即。故应考虑的情况.疑问2:用这个不等式组求出的一定是最大项吗?分析:用求出的不一定是最大项,而只是比前后两项都不小的项,也就是数列这个特殊函数的极大值.疑问3:用这个不等式组求出的项唯一吗?分析:正如一个函数可能有多个极大值一样,一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项,因此这样求出的项不唯一.疑问4:如果用这个不等式组求出的有多个,那么如何处理?分析:将求出的这些对应的项比较大小,取最大者,然后与比较.疑问5:为什么要与比较?分析:由于这个不等式组求得的是时的最大项,因此还需要与比较,二者最大的即为的最大项.正如我们在求函数最大值时,采取比较端点值和极大值的方法,原理是一样的.疑问6:若不等式组无解,又该如何处理?分析:若此不等式组无解,那么此数列无极大项,因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时,最大值必在端点处取得的原理一致.疑问7:若求得两个相邻的正整数,也要比较这两项的大小吗?分析:像本道例题中,或9,而我们发现,同为该数列的最大项.对于一般数列,若用这种方法求出两个相邻的正整数,则.因此,它们对应的项大小相等,不必另行比较.疑问8:若数列对应的函数具有单调性,也能用这种方法求其最大项吗?分析:若函数具有单调性,则不等式组无解,问题又回归到疑问6,最大项即为首项或末项(若该数列是有穷数列,只需比较首、末两项,择其大者,即为最大项;若该数列是无穷数列,则最大项要么为首项,要么不存在,视该数列的单调性而定).通过对上述疑问的一一分析,对其进一步探究,我们发现:“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致.因此,我们可以得出结论:“极值法”求数列最大项是求数列最大项的通法.可见,只要我们对问题深入分析研究,找出各知识点之间的联系,我们的眼界就会更加开阔,对知识的理解也会更进一步.聪明的同学们,你们也可以试着用同样的思路去研究求数列最小项的方法,锻炼一下自己吧! (注:素材和资料部分来自网络,供参考。请预览后才下载,期待你的好评与关注!)
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