数学试卷 一、选择题 复数1、复数(为虚数单位 ) 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 已知向量 2、已知向量a=(1,-2),b=(3,0),若(2a+b) (ma -b), 则 m的值为 ( ) A.B.C.D. 已知函数3、已知函数的零点为x0, 则 x0所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 设4、设, 则二项式展开式中含项的系数是 ( ) A.80 B.640 C.-160 D.- 40 5、已知实数、满足不等式组，则的最小值是 AB C5 D9 给出下列两个命题: 命题6、给出下列两个命题: 命题:, 当时,; 命题: 函数是偶函数 . 则下列命题是真命题的是( ) A. B. C. D. 7、车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆分，上班高峰期某十字路口 的车流量由函数（其中）给出，的单位是辆分，的单 位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（） ABCD 已知直线8、已知直线:与双曲线 :有交点 , 则实数的取值范围是 ( ) A.(-,-) (,+) B. (-,) C. -, , D. -, 已知函数9、已知函数的图象为曲线C,给出以下四个命题: 若点M在曲线C上, 过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条; 对于曲线C上任意一点, 在曲线C上总可以找到一点, 使和的等差 中项是同一个常数; 设函数, 则的最小值是0; 若在区间上恒成立 , 则a的最大值是1. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 在直角坐标系10、在直角坐标系 xOy中, 直线 l 的参数方程为(t 为参数). 在极坐标 系 ( 与直角坐标系取相同的长度单位 , 且以原点为极点, 以轴正半轴为极轴 )中, 圆 C的极 坐标方程为, 若直线 l 平分圆 C的周长 ,则= . 已知11、已知R, 则 M的最大值是 . 如图 , 已知 PA是圆12、如图 , 已知 PA是圆的切线 , 切点为 A,PO交圆于点 B,圆的半径为 2, 则 PA的长为 . 如图是某几何体的三视图, 正视图和侧视图都是等腰直角三角形, 俯视图是边长为3 的正方形 , 则此 几何体的体积等于13、如图是某几何体的三视图, 正视图和侧视图都是等腰直角三角形, 俯视图是 边长为 3 的正方形 ,则此几何体的体积等于 . 设二次函数14、设二次函数的导函数为, 对任意 R, 不等式恒成立 , 则的最大值为 . 已知15、已知为合数 ,且, 当的各数位上的数字之和为质数时, 称此质数为的 “衍生质数”. (1) 若的“衍生质数”为2, 则 ; (2) 设集合, 则集合中元 素的个数是. 三、解答题 在16、在ABC 中, 内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c, 且. (1) 求角 A的大小 ; (2) 若 a=3, 求ABC 的面积. 某校举行中学生“珍爱地球保护家园”的环保知识比赛, 比赛分为初赛和复赛两部分, 初赛采用 选手从备选题中选一题答一题的方式进行; 每位选手最多有5 次答题机会 , 选手累计答对3 题或答 错 3 题即终止比赛,答对 3 题者直接进入复赛, 答错 3 题者则被淘汰 . 已知选手甲答对每个题的概率 均为17、某校举行中学生“珍爱地球保护家园”的环保知识比赛, 比赛分为初赛和复赛两部分, 初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行; 每位选手最多有5 次答题机会 , 选手累计答对3 题或答错3 题即终止比赛, 答对 3 题者直接进入复赛, 答错 3 题者则被淘汰. 已知选手甲答对每个题 的概率均为, 且相互间没有影响. (1) 求选手甲进入复赛的概率; (2) 设选手甲在初赛中答题的个数为, 试求的分布列和数学期望. 18. 如图 , 在长方体 1111 ABCD-AB C D中, 1 22,AAABADE为AB的中点 ,F为 1 D E上的 一点 , 1 2D FFE. 1. 证明 : 平面DFC平面 1 D EC; 2. 求二面角ADFC的大小 . 已知数列19、已知数列的首项, 其前和为, 且满 足:(N *). (1) 求数列的通项公式 ; (2) 对任意的N * , 求实数a的取值范围 . 已知 M(20、已知 M(,0),N(2,0),曲线 C上的任意一点P满足 :. (1) 求曲线 C的方程 ; (2) 设曲线 C与 x 轴的交点分别为A、B,过 N的任意直线 ( 直线与 x 轴不重合 )与曲线 C交于 R、Q两 点, 直线 AR与 BQ交于点 S.问: 点 S是否在同一直线上?若是 , 请求出这条直线的方程; 若不是 , 请说 明理由 . 已知函数21、已知函数( 其中为常数 ). (1) 当时, 求函数的单调区间; (2) 当时,对于任意大于1 的实数, 恒有成立 , 求实数的取值范围 ; (3) 当时 , 设函数的 3 个极值点为, 且. 求证 :. 参考答案 答案：1、 答案：2、 答案：3、 答案：4、 答案：5、 解析：依题约束条件表示的平面区域如下图 目标函数表示可行域内任一点到原点距离的平方，由图可知当垂直于直 线：时，目标函数有最小值，又点与直线的距离为，所 以目标函数的最小值为，故选 B 考点： 1二元一次不等式的平面区域；2两点间的距离 答案：6、 答案：7、 解析：原题等价于求函数的单调递增区间，由 解得，当时，所以是 的一个单调增区间，而，所以选C 考点：三角函数的单调性 答案：8、 答案：9、 答案：10、 答案：11、 答案：12、 答案：13、 答案：14、 答案：15、 答案：16、 解析： (1) 由得 得, 所以 , 所以, 所以A= . (2) 因为b=2c. 所以,解得, . 所以 答案：17、 解析： (1) 设“选手甲进入复赛”为事件, 则选手甲答了3 题都对进入复赛概率为:; 或选手甲答了4 个题 , 前 3 个 2对 1 错,第 4 次对进入复赛 或选手甲答了5 个题 , 前 4 个 2对 2 错,第 5 次对进入复赛 , 选手甲进入复赛的概率. (2)的可能取值为3,4,5,对应的每个取值 , 选手甲被淘汰或进入复赛的概率 的分布列为 : 18. 答案： 1. 以D为原点 , 分别以 1 ,DA DC DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直 角坐标系 , 则 1 1,0,0 ,1,2,0 ,0,2,0 ,0,0,2 .?ABCD E为AB的中点 , E点坐标为1,1,0 ,?E 1 2D FFE, 11 22 24 (1,1, 2)(,) 33 33 D FD E uuu u ruu uu r , 11 2 242 2 2 (0,0, 2)(,)(,) 3 333 3 3 D FDDD F uuuu ruu uu ruuu u r 设( , , )nx y z r 是平面DFC的法向量 , 则 0, 0, n DF n DC uuu r r uuu r r 222 0, 3 33 20, xyz y 取1x得平面DFC的一个法向量n=(1,0,-1) r , 设, ,px y z r 是平面 1 ED C的法向量 , 则 1 1 0, 0, p D F p D C uu uu r r uu uu r r 224 0, 3 33 220, xyz yz 取1y得平面 1 ED C的一个法向量=(1,1,1)p r 1,0, 1 ?1,1,10n p r r , 平面DFC平面 1 D EC. 2. 设, ,qx y z r 是平面ADF的法向量 , 则0, ?0q DFq DA uu u ru uu r rr , 222 0, 3 33 0, xyz x 取1y得平面ADF的一个法向量0,1, 1 ,q r 设二面角ADFC的平面角为, 由题中条件可知(,),? 2 则 0011 , 222 n p cos np rr rr 二面角ADFC的大小为120 o. 解析： 答案：19、 解析： (1) 由条件, 两式相减得, 故, 两式再相减得, 构成以为首项 , 公差为 4 的等差数列 ; 构成以为首项 , 公差为 4 的等差数列 ; 又, 所以; 由条件得, 得, 从而, (2) 对任意的N * , 当时, 由, 有得; 当时, 由, 有, 即 若为偶数 , 则得; 若为奇数 , 则得. 由、得:. 答案：20、 解析： (1) 设点, 得 代入,化简得 所以曲线C的方程为 (2) 当直线的斜率存在时, 设直线方程为, 将直线方程代入曲线中, 化简 得 设点, 利用根与系数的关系得 在曲线 C的方程中令y=0 得, 不妨设,则 则直线 同理直线 由直线方程, 消去, 得 所以点 S是在直线上 当直线的斜率不存在时, 则直线方程为。可得点的横坐标为 综合得 , 点 S是在同一条直线上 答案：21、 解析： (1), 令可得 易得单调减区间为, 增区间为. (2) 当时, 由, 可得恒成立 , 令, 则 , 当时,恒成立 , 所以在上是增函数 所以当时,满足题意 , 则 当时, 令解得 当时,在上是减函数 当时, 不合题意 , 舍去 综上可得实数的取值范围。 (3) 由已知, 对于函数, 有 所以函数在上递减 , 在上递增 因为有 3 个极值点。从而所以 当时, 函数的递增区间有和, 递减区间有, 此时 , 函数有 3 个极值点 , 且; 当时,是函数的两个零点 即有, 消去有。令 则有零点, 且。所以函数在 上递减 , 在递增 要证明 :, 又因为, 所以即证 构造函数, 因为, 只需证明单调递减即可 而, 又 所以在上单调递增 , 所以 当时,