数学试卷 一、选择题 1.已知集合 |56Pxx， 2 |560Qx xx，则PQ =( ) A.| 16xxB. |16xxC.|16xxD. |16xx 2.设复数 z 满足3(1)ziz ，则下列说法正确的是( ) A. z 的虚部为 2i B. z 为纯虚数 C.5zD. 在复平面内， z 对应的点位于第二象限 3.设等差数列 na的前 n 项的和为 nS，若5347Sa，11a，则6a =( ) A. 37B.16 C. 13D. -9 4.如图是某市连续16 日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数 (AQI)小于 100表示空气质量优 良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染则下列说法不正确的是 ( ) A.这 16 日空气重度污染的频率为0.5 B.该市出现过连续4天空气重度污染 C.这 16 日的空气质量指数的中位数为203 D.这 16 日的空气质量指数的平均值大于200 5.已知 P 为抛物线 2 :4Cyx 上一点， F 为 C 的焦点，若4PF，则OPF 的面积为（） A.3B. 3 C. 2 3D.4 6.函数sin0,0fxAxA其中的部分图象如图所示，将函数fx 的图象向左平移 6 个单位长度，得到yg x 的图象，则下列说法不正确的是（） A.函数 g x 为奇函数B.函数 g x 的最大值为3 C.函数 g x 在 0, 3 上单调递增D.函数 g x 的最小正周期为 7.已知向量 a 与 ab 的夹角为 60 ，13ab,，则 ab = （） A.0 B. 3 2 C. 3 2 D.0 或 3 2 8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿 灯的时间之和为 100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮 绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（） A. 6 7 B. 3 5 C. 1 3 D. 1 10 9. 362 (1)()xx x 的展开式中的常数项为( ) A. 240 B. 180 C. -60 D.-80 10.设函数 1 2 1 ( ) (1) x f xe x ，则不等式( )(21)fxfx的解集为 ( ) A. ( 10), B. ( 1),-C. 1 ( 1) 3 ，D. 1 ( 1 0)(0) 3 ， U 11.几何体甲与几何体乙的三视图如图所示，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角 形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则 几何体甲与乙的表面积之比为（） A. 31B. 13 2 C. 31D. 17 6 12.已知函数 21 0 6 ( ) ln 0 xxx f x x x x ， ， ，( )( )g xf xax （其中 a 为常数），则下列说法中正确的个 数为 ( ) 函数( )f x 恰有 4 个零点； 对任意实数 a ，函数( )g x 至多有 3个零点； 若0a，则函数( )g x 有且仅有3 个零点； 若函数 ( )g x 有且仅有3 个零点，则 a 的取值范围为 11 ( 0) 62e ，U . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 13.已知函数( ) ln(1) x f xxex，则曲线( )yf x 在0 x处的切线方程为 _. 14.已知实数 , x y满足约束条件 10 330, 10 xy xy xy 则=32zxy 的最小值为 _. 15.已知数列 na的各项为正，记nS为na的前 n 项和，若 2 1 1 3 () 2 n n nn a anN aa ， 11a，则 5 S =_. 16.已知双曲线 22 22 :1(0,0), xy CabO ab 是坐标原点， F 是 C 的右焦点，过F 的直线与 C 的 两条渐近线的交点分别为,A B,且OAB 为直角，记OAF 和OAB 的面积分别为 OAF S和 OAB S， 若 1 3 OAF OAB S S ，则双曲线C 的离心率为 _. 三、解答题 17.已知向量(sin ,3),=(1 cos )mxnx, ，且函数 ( )f x mn. (1)若 5 (0) 6 x，且 2 ( ) 3 f x，求 sin x 的值； (2)在锐角ABC 中，角A B C,的对边分别为,a b c,，若4a， ABC 的面积为 4 3 ， 且 1 ()sin 32 f AcB，求ABC 的周长 . 18.如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，ADBC， ABAD，22ADBCAB ，O 是AD的中点 (1)在线段PA上找一点 E ，使得BE平面 PCD ，并证明； (2)在 1 的条件下，若2PAPDAD，求平面 OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值 19.随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018 年中国快递量世界第一，已连续五年突破五 百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的 包裹收费 8 元；超过 1kg 的包裹，在8 元的基础上，每超过1kg (不足 1 kg，按 1 kg计算 )需再收 4 元 该公司将最近承揽(接收并发送 )的 100件包裹的质量及件数统计如下(表 1)： 表 1： 包裹质量（ kg ) 01（ ，12（，2 3（ ，3 4（ ，4 5（ ， 公司对近50 天每天承揽包裹的件数(在表 2 中的 “ 件数范围 ” 内取的一个近似数据)、件数范围及天 数，列表如下 (表 2)： 表 2： (1)将频率视为概率，计算该公司未来3 天内恰有1 天揽件数在 100(300，内的概率； (2) 根据表 1 中最近 100 件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均 值： 根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作 其他费用目前，前台有工作人员5 人，每人每天揽件数不超过100 件，日工资80元公司正在 考虑是否将前台人员裁减1 人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策 者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1 人? (桃源一中 ) 20.有一种曲线画图工具如图1所示 O 是滑槽 AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆MN 通过 N 处铰链与 ON连接，MN上的栓子 D 可沿滑槽 AB滑动，且 1 2 DNON ，1DM当栓子 D 在滑槽AB内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动， M处的笔尖画出的曲线记为C 以 O 为原 点，AB所在的直线为轴建立如图2 所示的平面直角坐标系 (1)求曲线 C 的轨迹方程； (2) 2 F 为曲线 C 的右焦点，P 为曲线 C 上一动点，直线 2 PF 斜率为 (0)k k，且 2 PF 与曲线 C 的 另一个交点为 Q ，是否存在点 (0, )Tt ，使得 TPQTQP,若存在，求 t 的取值范围；若不存 在，请说明理由. 21.已知函数( ) (ln) x f xxea xx ，其中2.71828eL 为自然对数的底数. （1）若( )1f x，求实数 a 的值； 包裹件数 43 30 15 8 4 件数范围(0100，100(200，200(300，300(400，400(500， 天数5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数50 150 250 350 450 （2）证明： 2 (2ln)2(1sin ) x x exx x . 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线 1: 10Cxy，曲线 2 cos, : 1sin, xa C ya （为参数， 0a），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）说明 2 C 是哪一种曲线，并将 2 C 的方程化为极坐标方程； （2）曲线 3 C 的极坐标方程为 0 0 ，其中 00 tan2,0, 2 ,且曲线 3 C 分别交 12 ,CC 于 AB，两点，若35OBOA，求 a 的值 . 23.设函数 ( )|1|f xxax . (1)若 1a，求不等式 ( )3f x的解集 ; (2)已知关于 x 的不等式( )|2 |6f xxx在 1,1x 上恒成立，求实数 a 的取值范围 . 参考答案 1.答案： C 解析：由已知得16 ,56QP,（, ） ,故61PQ，I. 2.答案： C 解析：由3(1)ziz 得 3( 3)(1) 12 12 iii zi i ， 22 ( 1)25z 3.答案： B 解析：设等差数列 n a 的公差为 d ，由 53 47Sa 得： 11 5(51) 54(2 )7 2 adad ， 将 1 1a 代入上式解得3d，故61 511516aad . 4.答案： D 解析：这16 日空气重度污染的频率为 8 0.5 16 故 A 正确； 12 日， 13 日， 14日， 15 日连续 4 天空气重度污染，故B 正确； 中位数为 1 (192214)203 2 ，故 C 正确； 1 200(147543( 43) 6 x( 120)( 48)60( 117)( 40) ( 21)( 62)14216323( 8)200，（也可根据图形判断，8 个数据大于200，8 个数据小 于 200，小于 200 的 8个数据整体与200 相差较大），故D 不正确 . 5.答案： A 解析：设 00 ()P xy， ，抛物线的焦点 (1 0)F， ，准线为1x， 由抛物线的定义可知： 0 ( 1)4PFx 0 3x 代入C 的方程得 0 2 3y， 0 11 | |12 33 22 OPF SOFy 6.答案： C 解析：由图可知3A， 353 -(-)= 41234 T， ,2T，将点 5 ,3 12 代入3sin(2)yx， 得 2 () 3 kkZ ，故 ( )3sin(2) 3 f xx，向左平移 6 哥单位长度得： ( )3sin2()3sin 2 63 yg xxx ，故, ,A B D正确，选C 7.答案： A 解析：设 a r 与 b r 的夹角为 ，由题设()1 |cos60aabab rrrrr ， 即 2 1 2 aa bab rrrrr ，所以 1 13 cos| 2 ab rr ， 22 4(13cos )()42 3cosab rr 即 2 2coscos0 ，所以 cos 0或 3 2 ， 经检验， 3 2 不符合，舍去，故0a b rr 8.答案： C 解析：设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则60t，亮红灯的时间10070t，所以 3060t， 亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为50t，由几何概型的概率公式知： 60501 60303 P . 9.答案： B 解析： 62 ()x x 的通项为 6 3 2 62 r rr Cx ，所以 362 (1)()xx x 的展开式中的常数项为 6 12 344 2 62x Cx 和 6 6 22 2 6 ( 1)2Cx ，又 4422 66 2224060180CC，所以 362 (1)()xx x 的展开式中的常数项为180. 10.答案： D 解析：( )f x 的定义域为 |1x x，考虑函数 2 1 ( ) x g xe x 为偶函数，在 (0,) 上单调递增，在 (,0) 上单调递减， g x 的图像向右平移1 个单位得到( )f x 的图像，所以函数( )f x 关于1x对 称，在 (,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 . 由( )(21)f xfx，可得 1 211