数学试卷 一、选择题 1. 已知集合|ln,|2,Ax yxBx yx 则AB ( ) A.|02xx B.|02xx C.|12xx D.|12xx 2. 在复平面内 , 设复数 12 ,z z对应的点关于虚轴对称, 1 12zi (i是虚数单位 ), 则 12 z z ( ) A.5 B.5 C.14i D.1 4i 3.九章算术中有如下问题：“ 今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？” 其大意： “ 已 知直角三角形两直角边分别为5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？” 现若向此三角形内随机 投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A. 2 15 B. 3 20 C. 2 1 15 D. 3 1 20 4. 在如图所示的框图中, 若输出360S, 那么判断框中应填入的关于k的判断条件是 ( ) A.2?k B.2?k C.3?k D.3?k 5. 若函数sin 12 fxx 为偶函数 , 则cos2的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 6. 已知函数 1 , ln1 fx xx 则( )yf x的图像大致为 ( ) A. B. C. D. 7. 若, x y满足约束条件 0 0 10 x xy xy , 则3zxy的取值范围是 ( ) A.(,2 B.2,3 C.3, D.2, 8. 将函数2sin2 3 fxx 图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变 , 再将所 得图像向左平移 12 个单位得到函数g x的图像 ,在g x图像的所有对称轴中, 离原点最近的对称 轴方程为 ( ) A. 24 x B. 4 x C. 5 24 x D. 12 x 9. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) A.4 B. 2 C. 4 3 D. 2 3 10. 已知直线与圆相交于两点 (为坐标原点 ), 则 “”是“”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 11. 已知定义域为R的奇函数fx, 当0 x时,满足 2 3 log72,0 2 , 3 3 , 2 xx fx fxx 则 1232020ffff ( ) A. 2 log 5 B. 2 log 5 C.2 D.0 12. 已知函数 22 ln2,fxxmxm当fx取最小值时 , 则m ( ) A. 1 2 B. 1 ln 2 2 C. 12 ln 2 105 D. 2ln2 二、填空题 13. 已知2,3,aba r rr 与b r 的夹角为 2 3 , 且0abc rr rr , 则c r _ 14. 在ABC中, ,a b c分别为内角,A B C的对边 , 若2sinsinsinBAC, 3 cos 5 B且 4 ABC S, 则b的值为 _ 15. 已知三棱锥ABCD中,BC面ABD,3,1,2 2,4ABADBDBC, 则三棱锥 ABCD外接球的体积为_ 16. 已知过抛物线 2 20ypx p的焦点F的直线与抛物线交于,A B两点 , 且3AFFB u uu ru uu r , 抛物 线的准线l与x轴交于点C, 1 AAl于点 1 A, 若四边形 1 AACF的面积为12 3, 则p的值为 _ 三、解答题 17. 已知各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S, 若 4 120S, 且 4 3a是 65 ,aa的等差中项 1. 求数列 n a的通项公式 2. 若数列 n b满足 321 log, nn ba且 n b的前n项和为 n T, 求 12 111 n TTT . 18. 中华人民共和国道路交通安全法第47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速 慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，中华人民共和国道路 交通安全法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3 分，罚款50 元的处罚 . 下表是某市 一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份12345 违章驾驶员人数1201051009085 （1）请利用所给数据求违章人数y 与月份之间的回归直线方程 $ ybxa $ ； （2）预测该路口7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数； （3）交警从这5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50 人，调查驾驶员不“礼让斑马线” 行为与驾龄的关系，得到如下22列联表： 不礼让斑马线礼让斑马线合计 驾龄不超过1 年22830 驾龄 1 年以上81220 合计302050 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？ 参考公式及数据： $ 11 2 2 2 1 1 , nn iiii ii n n i i i i x ynxyxxyy aybx xnx xx $ . P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd （其中nabcd） 19. 如图所示 , 在三棱柱 111 ABCA B C中, 侧棱 1 BB底面 1 ,4,ABC BBABBC, 且 4ABBC,点,MN为棱,AB BC上的动点 , 且AMBN. 1. 求证 : 无论M在何处 , 总有 11 B CC M 2. 求三棱锥 1 BMNB体积的最大值 20. 在平面直角坐标系中, 点 12 ,FF分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点, 双曲线 C的离心率为2, 点 3 1, 2 在双曲线C上. 不在 x轴上的动点 P与动点Q关于原点O对称 , 且四边 形 12 PFQF的周长为4 2. 1. 求动点P的轨迹方程 2. 已知动直线:lykxm与轨迹P交于不同的两点,MN, 且与圆 22 3 : 2 Wxy交于不同的两 点,G H, 当m变化时 , MN GH 恒为定值 , 求常数k的值 21. 已知函数,2.71828 x fxaexa eL是自然对数的底数 1. 讨论函数( )fx的单调性 ; 2. 若( )f x恰有2个零点 , 求实数a的取值范围 22. 以直角坐标系的原点O为极点 ,x轴非负半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 曲 线 1 C的极坐标方程为 2 sin4cos0, 曲线 2 C的参数方程是 12cos 2sin x y (为参数 ). 1. 求曲线 1 C的直角坐标方程及 2 C的普通方程 2. 已知点 1 ,0 2 P , 直线l的参数方程为 12 22 2 2 xt yt (t为参数 ), 设直线l与曲线 1 C相交于 M、N两点 , 求 11 PMPN 的值 23. 已知函数( )12f xxx 1. 求函数( )f x的最小值k; 2. 在1的结论下 , 若正实数,a b满足 11 =k ab , 求证 : 22 12 2 ab 参考答案 1. 答案： A 解析： 2. 答案： B 解析： 3.答案： C 解析： 4. 答案： D 解析： 5. 答案： C 解析： 6. 答案： B 解析： 7. 答案： D 解析： 8. 答案： A 解析： 9. 答案： D 解析： 10. 易 知斜 边 上 的 高 为1,则 由 点 到 直 线 距 离 公 式 得,解 得 ,所以 “” 是“” 的充分不必要条件,故选. 11. 答案： B 解析： 12. 答案： C 解析： 13. 答案：7 解析： 14. 答案： 4 6 3 解析： 15. 答案： 125 6 解析： 16. 答案：2 2 解析： 17. 答案： 1.3 n n a 2. 12 1111311 221+2 n TTTnn 解析： 1.是的等差数列 设数列的公比为, 则 解得或( 舍) 所以 2. 由已知得 所以 18.答案：（ 1）由表中数据知，3,100 xy， 1 2 2 1 14151500 8.5 5545 n ii i n i i x ynxy b xnx $ $ 125.5aybx $ ， 所求回归直线方程为 $ 8.5125.5yx。 （2）由（ 1）知，令7x，则 $ 8.57125.566y人 . （3）由表中数据 2 2 5022 128 8 50 5.5565.024 3020 30209 k ， 根据统计有97.5%的把握认为 “ 礼让斑马线 ” 行为与驾龄关 解析： 19. 答案： 1. 要证明无论M在何处 , 总有 11 B CC M 只要证明 1 B C面 1 AC B即可 1 BB底面ABC 1 BBAB, 又 1 ,ABBC BCB BB AB面11 BCC B 1 B CAB 11 BCC B为正方形 11 B CBC 又 1 ABBCB 1 B C面 1 AC B 原命题得证 2. 11 11 4 32 B MNBBBMN VVBMBN 2 228 3323 BMBN BMBN 三棱锥 1 BMNB体积的最大值为 8 3 解析： 20. 答案： 1. 设点 12 ,FF分别为(,0),(,0)(0)ccc 由已知2 c a , 所以 222222 2 ,4,3ca cabcaa 又因为点 3 1, 2 在双曲线C上, 所以 22 9 1 4 1 ab 则 22229 4 baa b, 即 2249 33 4 aaa, 解得 211 , 42 aa 所以1c 连接PQ、, 因为 12, OFOFOPOQ, 所以四边形 12 PFQF为平行四边形 因为四边形 12 PF QF的周长为4 2 所以 2112 2 22PFPFF F 所以动点P的轨迹是以点 12 ,FF分别为左、右焦点 长轴长为2 2的椭圆 ( 除去左右原点 ) 可得动点P的轨迹方程为 2 2 1(0) 2 x yy 2. 设 1122 (,),(,)m xyN xy, 由题意 2 2 1 2 ykxm x y , 得 222 (12)4+220kxkmxm 所以 2 121222 422 , 1212 kmm xxx x kk 又0 所以 2222 121212 (1)()(1) ()4MNkxxkxxx x 22 22 (1)(1+2) 2 2 (1 2) kkm k 又直线:lykxm到定圆 223 2 xy圆心的距离为 2 1 m d k 所以 22 2 3 22 21 m GHrd k 因为 2222 222 (1) (12) 2 (12)(332) MNkkm GHkkm 为定值 所以设 222 2222 (1)(12) (12) (332) kkm kkm (为定值 ) 化简得 22222222222 2 (12)(1)(1+) (12)3 (12) (1)0kkmkkkk 所以 2222 2 (12)(1)0kk且 222222 (1) (12)3 (12) (1)0kkkk 解得1k 解析： 21. 答案： 1.( )1 x fxae 当0a时,( )10 x fxae 所以(,),( )0,( )xfxfx在(,)上单调递减 当0a时,( )10 x fxae得lnxa 所以(,ln),( )0,( )xafxf x在(,ln)a上单调递减 (ln,),( )0,( )xafxf x在(ln,)a上单调递增 2. 由题1知, 当0a时 , 所以( )f x在(,)上单调递减 又知(0)0f, 所以( )f x仅有1个零点 当01a时,(0)0f, 所以( ln)0fa 取 1 ( 2ln)2lnfaaa a , 再令函数 1 ( )2lng aaa a , 得 2 2 (1) ( )0 a g a a 所以( )(1)0g ag 所以 1 ( 2ln)2ln0faaa a 得(