亿折网一折网崇明县 2013 学年高三第一学期期末考试试卷高三数学（文科）一、填空题（每题 4 分，满分 56 分，将答案填在答题纸上）1.已知虚数 z 满足等式 ，则 z= iz6122.若关于 x，y 的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为 ， nm30643yx则 mn 的值等于 3.直线 的一个法向量可以是 12yx【答案】 (,)【解析】试题分析：已知直线的一般式方程为 ，因此其一个法向量为 210xy(1,2)考点：直线的法向量4.已知全集 ，则 =01log,02, 2xBxARUBCAu【答案】 1|0x亿折网一折网【解析】试题分析：由已知 ， ， ，|02Ax1|2Bx1|2UBx.1()|UAB考点：集合的运算5.某单位有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，老、中、青职工共有430 人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为 6.函数 的反函数是 012xy7. 中，若 则 ABC,31,2CBADB【答案】 3【解析】试题分析： ， .212()33CAABCACB23考点：向量的线性表示，向量的运算.8.若 则 ,214tancosin亿折网一折网9.已知函数 是奇函数，则函数 的定义域为 1,012logaxmxfa xfy10.在一个袋子中装有分别标注 1,2，3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为 6 的概率等于 【答案】 15【解析】试题分析：从 5 个球任取 2 个球共有 种取法，而数字和为 6 的只有 两2510C(1,5)24种取法，所以所概率为 .10考点：古典概型.11.在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 （用数字作答）81x5x亿折网一折网12.已知双曲线 的左右焦点分别是 ，设 P 是双曲线右支上一0,12bayx 21,F点， 在 上的投影的大小恰好为 ，且它们的夹角为 ，则双曲线的渐21FPPF1 54arcos近线方程为 13.在实数集 R 中，我们定义的大小关系 “ ”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”，定义如下：对于任意两个复数， 当且仅当,11ibaz,22ibaz为 虚 数 单 位iRba,2121z，下面命题 1 i 0;若 ， ，则12且或 3；若 ，则对于任意 ， ；对于复数 ，则31z21zCzz210z其中真命题是 2【答案】【解析】试题分析：命题，1 的实部是 1, 的实部是 0, 正确；命题，设i，由已知得 或 ， 或12233,zabizizab12a1212ab且 3a，显然有 ，若 ，则 ，若 ，则 ，233且 1133z3亿折网一折网，也有 ，故正确；命题，设 ，由 得123b31z(,)zabiR21z或 ，从而 或 且 ，a122ab且 12a12b,正确；命题 4， ， ， ，则有 ，但zz1 zizizi12z， ，显然有 ，故错误填空i221考点：新定义运算，复数的运算14.已知 当 时，函数 的最小值为-4，则 t 的取值范围是 ,1t2,txxy4考点：行列式的定义，分段函数的最小值二、选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.亿折网一折网15.设 则 是“ ”成立的.Ra012a1a.( )A充分必要条件 B充分不必要条件C 必要不充分条件 D既非充分也非必要条件16.已知数列 是无穷等比数列，其前 n 项和是 ，若 ， ，则nans232a143的值为.nSlim.( )A B C D32343831617.对于函数 ，下列选项正确的是.1)2(sin)12(cos)( xxf.( )A 在 内是递增的 B 的图像关于原点对称xf,4xfC 的最小正周期为 2 D 的最大值为 1f f【答案】B【解析】亿折网一折网试题分析： 1)2(sin)12(cos)( xxf1cs266x,所以 B 正确1o()cos(2)sin2sin2xxx考点：降幂公式，三角函数的性质18.已知圆 O 的半径为 1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为两切点，那么 的最PBA小值等于.( )A B C D2423243【答案】D【解析】试题分析： ，记()()PABOPB(OAB)OP2， ， 是圆 的切线， 平分 ， 与Ot, PAB同向，2cosABPO22cosAOBt2cost，当且仅当 ，2222css13tt2t亿折网一折网即 时，等号成立，故所求最小值为 .142t23考点：向量的数量积与最小值.三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本大题共 74 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）(1)解方程： )35(log3log2xx(2)已知集合 A=（-1,3） ，集合 B= 集合 C= 并且,02,1Raxa，求 a 的取值范围 .BAC【答案】1） ；（2） .x1,)亿折网一折网20.（本大题 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，S 是该三角形的面积(1)若 ， 求角 B 的度数2,cosina ,/2osin,1B(2)若 a=8，B= ，S= ，求 b 的值38【答案】 （1） ；（2） .47亿折网一折网21.（本大题 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第三小题 6 分）已知圆 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 相切.C1:20lxy(1)求圆的标准方程；(2)设点 A 为圆上一动点，AN 轴于 N，若动点 Q 满足 （其中x ,)1(ONmAOm 为非零常数） ，试求动点 的轨迹方程 .Q2C(3)在（2）的结论下，当 时，得到动点 Q 的轨迹曲线 C，与 垂直的直线 与曲线3m1llC 交于 B、D 两点，求 面积的最大值.OBD亿折网一折网将 代入 ,得动点 的轨迹方程 . （3） 时,曲线 方程为 ，设直线 的方程为设直线 与椭圆 交点亿折网一折网22.（本大题 16 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第三小题 6 分）已知数列 的前 n 项的和为 ，且 ，anS1anna21（1）证明数列 是等比数列（2）求通项 与前 n 项的和 ；anS（3）设 若集合 M= 恰有 4 个元素，,2Nbn Nnb,求实数 的取值范围.【答案】(1)证明见解析；（2） ， ；（3）1()2nna1()()2nnS.35【解析】试题分析：（1）可以根据等比数列的定义证明，用后项比前项，即证是常数，这由已知易得，同时要说明 ；（2）由（1） 是1()nnaa a0na亿折网一折网公比为 的等比数列，因此它的通项公式可很快求得，即 ，从而12 1()2nna，这个数列可以看作是一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此()nna其前 项和可用错位相减法求出；（3）这里我们首先要求出 ，由（2）可得nb，集合 M= 恰有 4 个元素，即 中只有 4 个不同的12()()nnnbNnb,值不小于 ，故要研究数列 中元素的大小，可从单调性考虑，作差n 1nb，可见 ， ，再计算后发现 ，因此 应该21(3)n212345 4满足 54b亿折网一折网因为集合 恰有 4 个元素，且 ，所以 .考点：（1）等比数列的定义；（2）错位相减法求和；（3）数列的单调性亿折网一折网23.（本大题 18 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分，第三小题 6 分）已知函数 对任意的 恒有 成),(,2Rcbxgbxf Rxxgf立.(1)记 如果 为奇函数，求 b，c 满足的条件；,xfhh(2)当 b=0 时，记 若 在 ）上为增函数，求 c 的取值范围；,fgx,2(3)证明：当 时， 成立；0xc【答案】 （1） ；（2） ；（3）证明见解析,1bc,4试题解析：（1）因为任意的 恒有 成立， 所以对任意的 ，即 恒成立 所以 ，从而 .，即： 亿折网一折网设 的定义域为 ，因为 为奇函数， 所以对于任意 ， 成立解得 所以 亿折网一折网