西南交通大学2005-2006学年(一)学期考试试卷课程 数值分析 学号 班级 姓名 成绩(注:力学系做A套,数学系做B套)（A） (30分)简算： 设f(x)= 1347 xxx ，计算：f0,1,f 710 2,2,2 设A为 10 11 , 计算 1A , 2A , A ,cond1(A)(3) 数值求积公式: )(02/)()0()( 0 2 hffahhffhdxxfh ）（ 当a取何值时代数精度最高?是多少次?(4) 设A= 111 aa aa aa ,计算:使线性方程组AX=b的Jacobi迭代法收敛的a范围.(5) 用Euler法求下述初值问题在区间0，0.5上的数值解见下表(取步长h=0.1)， 1)0(y 1xydxdy这里为 ky 数值解， )x(y k 为准确解，问第三次迭代时局部截断误差和整体截断误差的为何？2 (10分) 用Newton法求方程: 0210 xxe 的根,要求误差不超过 5103.(10分)用改进平方根法求解线性方程组 654131 321 112 321xxx要求:(1)写出L阵及D阵(2)写出解方程的顺推及逆推的表达式及计算结果.4(10分) 用Romberg公式计算积分： dxx10 2sin ,要求误差小于0.00005。kx 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5)x(y k 1.004837 1.018731 1.070818 1.070320 1.106531ky 1.000000 1.010000 1.029000 1.056100 1.090490kk y)x(y 0.004837 0.008731 0.041818 0.014220 0.0160415.(10分)利用下述正弦积分数据表，计算：当Si(x)=0.45时，x的值。X 0 0.2 0.4 0.6Si(x) 0 0.19956 0.39646 0.588136. (10分)设f(x)lnx,x1,2，试求出f在=span1,x中的最佳平方逼近多项式P1* .7. (10分) 用反幂法求矩阵 111 132 126 的最接近于6的特征值及对应的特征向量(只要求写出求解的步骤,不用具体计算数值).8. (10分)用梯形方法解初值问题 1)0( 0y yy 。证明其近似解为 nn hhy 22 ，并证明当 0h 时,它收敛于原初值问题的准确解 xey 。(B) (30分)简算： 设f(x)= 1347 xxx ，计算：f0,1,f 710 2,2,2 设A为 10 11 , 计算 1A , 2A , A ,cond1(A)(3) 数值求积公式: )(02/)()0()( 0 2 hffahhffhdxxfh ）（ 当a取何值时代数精度最高?是多少次?(5) 设A= 111 aa aa aa ,计算:使线性方程组AX=b的Jacobi迭代法收敛的a范围.(5) 用Euler法求下述初值问题在区间0，0.5上的数值解见下表(取步长h=0.1)， 1)0(y 1xydxdy这里为 ky 数值解， )x(y k 为准确解，问第三次迭代时局部截断误差和整体截断误差的为何？2 (10分) 用Newton法求方程: 0210 xxe 的根,要求误差不超过 5103.(10分)用改进平方根法求解线性方程组 654131 321 112 321xxx要求:(1)写出L阵及D阵(2)写出解方程的顺推及逆推的表达式及计算结果.4(10分) 用Romberg公式计算积分： dxx10 2sin ,要求误差小于0.00005。5. (10分)用梯形方法解初值问题 1)0( 0y yy 。证明其近似解为 nn hhy 22 ，并证明当 0h 时,它收敛于原初值问题的准确解 xey 。6(10分)设 )(,),(),(,)( 10 xxxbaCxf n 是区间a,b上的线性无关的连续函数,=span )(,),(),( 10 xxx n ,证明: )(xf 在中的最佳平方逼近函数存在且唯一.7.(10分)设A为严格对角占优阵,求证解Ax=b的SOR迭代法收敛.8.(10分)设有序列 , *xxx kk 存在 1, cc ,满足 *1 xxcxx kkk ,而且0lim kk ,则由 kkk kkkk xxx xxxx 12 2 122 确定的 kx 对充分大的k都存在,且有0lim * xx xxkkk期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期 考试科目：数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业题号 一 二 三 四 总分1 2 3 4 5 6得分kx 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5)x(y k 1.004837 1.018731 1.070818 1.070320 1.106531ky 1.000000 1.010000 1.029000 1.056100 1.090490kk y)x(y 0.004837 0.008731 0.041818 0.014220 0.016041评阅人一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000 10001 1n n 时，应按照n从小到大的顺序相加。 （ ）2. 为了减少误差,应将表达式 2001 1999 改写为 22001 1999 进行计算。（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）4. 采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。 （ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为_，相对误差限为_.2. 设 1 0 1 00 2 1 , 5 ,1 3 0 1A x 则 1A _， 2x _， Ax _.3. 已知 5 3( ) 2 4 5 ,f x x x x 则 1,1,0f , 3, 2, 1,1,2,3f .4. 为使求积公式 1 1 2 31 3 3( ) ( ) (0) ( )3 3f x dx A f A f A f 的代数精度尽量高，应使1A ， 2A ， 3A ，此时公式具有 次的代数精度。5. n阶方阵A的谱半径 ( )A 与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B 时，使迭代公式 ( 1) ( ) ( 0,1,2, )k kX MX N k 产生的向量序列 ( )kX 收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B 时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U 的乘积，即 .A LU 若采用高斯消元法解AX B ，其中 4 22 1A ，则L _，U _；若使用克劳特消元法解AX B ，则11u _；若使用平方根方法解AX B ，则 11l 与 11u 的大小关系为_（选填：，=，不一定）。8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题 (0) 1y x yy 的数值解，其迭代公式为_.三、计算题（第13、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1. 以 0 2x 为初值用牛顿迭代法求方程 3( ) 3 1 0f x x x 在区间(1,2)内的根，要求（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算 1 2, ,x x 计算结果取到小数点后4位）。2. 给定线性方程组 1 2 31 2 31 2 30.4 0.4 10.4 0.8 20.4 0.8 3x x xx x xx x x （1） 分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3. 已知函数 ( )y f x 在如下节点处的函数值x -1 0 1 2y 1 4 3 0（1） 建立以上数据的差分表；（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式 2( )P x ，并计算 (1.1)y 的近似值；（3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。4. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x -1 0 1 2y 1 2 5 05. 已知函数 ( )y f x 在以下节点处的函数值，利用差商表求 (3)f 和 (3)f 的近似值。6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。 2 2 (0 1, 0.2)(0) 0y x y x hy 四、（8分）已知n+1个数据点( , )( 0,1,2, , )i ix y i n ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。x 1 3 4y 2 1 8期末考试答案及评分标准（A卷）2007学年第二学期 考试科目：数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空题：（每空2分，共36分）1. 0.005或 20.5 10 ，0.52. 5, 26,153. 0,24. 1,0,1,35. ( )A A 6. ( ) 1M 7. 1 0 4 2, , 1,1 0 212 8. 1 1( ) (1 )2n n n n n ny y x y x y 或 1 1.5 2.5 0.5, 0,1,2,n n ny x y n 三、解答题（第14小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分）1. （1）证明： 3( ) 3 1f x x x ，由于a) (1) 3 0, (2) 1 0,f f b) 2( ) 3 3 0 ( (1,2),f x x x c) ( ) 6 0 ( (1,2),f x x x 即 ( )f x 在(1,2)上不变号，d) 对于初值 0 2x ，满足 (2) (2) 0,f f 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。 4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为31 2( ) 3 1( ) 3 3n n nn n nn nf x x xx x xf x x 2分取初值 0 2x 进行迭代，得 1 1.8889,x