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2011-2020十年高考真题与优质模拟题汇编专题17坐标系与参数方程本专题考查的知识点为:坐标系与参数方程,历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:参数方程的求解,参数方程的几何意义,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以参数方程的几何意义为重点较佳.1【2020年全国1卷理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos-16sin+3=0(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标【答案】(1)曲线C1表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆;(2)(14,14).【解析】(1)当k=1时,曲线C1的参数方程为x=costy=sint(t为参数),两式平方相加得x2+y2=1,所以曲线C1表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆;(2)当k=4时,曲线C1的参数方程为x=cos4ty=sin4t(t为参数),所以x0,y0,曲线C1的参数方程化为x=cos2ty=sin2t(t为参数),两式相加得曲线C1方程为x+y=1,得y=1-x,平方得y=x-2x+1,0x1,0y1,曲线C2的极坐标方程为4cos-16sin+3=0,曲线C2直角坐标方程为4x-16y+3=0,联立C1,C2方程y=x-2x+14x-16y+3=0,整理得12x-32x+13=0,解得x=12或x=136(舍去),x=14,y=14,C1,C2公共点的直角坐标为(14,14).2【2020年全国2卷理科22】已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】(1)C1:x+y=4;C2:x2-y2=4;(2)=175cos.【解析】(1)由cos2+sin2=1得C1的普通方程为:x+y=4;由x=t+1ty=t-1t得:x2=t2+1t2+2y2=t2+1t2-2,两式作差可得C2的普通方程为:x2-y2=4.(2)由x+y=4x2-y2=4得:x=52y=32,即P52,32;设所求圆圆心的直角坐标为a,0,其中a0,则a-522+0-322=a2,解得:a=1710,所求圆的半径r=1710,所求圆的直角坐标方程为:x-17102+y2=17102,即x2+y2=175x,所求圆的极坐标方程为=175cos.3【2020年全国3卷理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2y=2-3t+t2(t为参数且t1),C与坐标轴交于A、B两点(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程【答案】(1)410(2)3cos-sin+12=0【解析】(1)令x=0,则t2+t-2=0,解得t=-2或t=1(舍),则y=2+6+4=12,即A(0,12).令y=0,则t2-3t+2=0,解得t=2或t=1(舍),则x=2-2-4=-4,即B(-4,0).AB=(0+4)2+(12-0)2=410;(2)由(1)可知kAB=12-00-(-4)=3,则直线AB的方程为y=3(x+4),即3x-y+12=0.由x=cos,y=sin可得,直线AB的极坐标方程为3cos-sin+12=0.4【2019年新课标3理科22】如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(2,4),C(2,34),D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),(1,2),(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标【答案】解:(1)由题设得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为2cos,2sin,2cos,则M1的极坐标方程为2cos,(04),M2的极坐标方程为2sin,(434),M3的极坐标方程为2cos,(34),(2)设P(,),由题设及(1)值,若04,由2cos=3得cos=32,得=6,若434,由2sin=3得sin=32,得=3或23,若34,由2cos=3得cos=-32,得=56,综上P的极坐标为(3,6)或(3,3)或(3,23)或(3,56)5【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程【答案】解:(1)当0=3时,0=4sin3=23,在直线l上任取一点(,),则有cos(-3)=2,故l的极坐标方程为有cos(-3)=2;(2)设P(,),则在RtOAP中,有4cos,P在线段OM上,4,2,故P点轨迹的极坐标方程为4cos,4,26【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos+3sin+110(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值【答案】解:(1)由x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数),得x=1-t21+t2y2=2t1+t2,两式平方相加,得x2+y24=1(x1),C的直角坐标方程为x2+y24=1(x1),由2cos+3sin+110,得2x+3y+11=0即直线l的直角坐标方程为得2x+3y+11=0;(2)设与直线2x+3y+11=0平行的直线方程为2x+3y+m=0,联立2x+3y+m=04x2+y2-4=0,得16x2+4mx+m2120由16m264(m212)0,得m4当m4时,直线2x+3y+4=0与曲线C的切点到直线2x+3y+11=0的距离最小,为|11-4|22+3=77【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|+2以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos30(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程【答案】解:(1)曲线C2的极坐标方程为2+2cos30转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x30,转换为标准式为:(x+1)2+y24(2)由于曲线C1的方程为yk|x|+2,则:该射线关于y轴对称,且恒过定点(0,2)由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点所以:必有一直线相切,一直线相交则:圆心到直线ykx+2的距离等于半径2故:|2-k|1+k2=2,或|2+k|1+k2=2解得:k=-43或0,当k0时,不符合条件,故舍去,同理解得:k=43或0经检验,直线y=43x+2与曲线C2没有公共点故C1的方程为:y=-43|x|+28【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosy=4sin,(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosy=2+tsin,(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率【答案】解:(1)曲线C的参数方程为x=2cosy=4sin(为参数),转换为直角坐标方程为:y216+x24=1直线l的参数方程为x=1+tcosy=2+tsin(t为参数)转换为直角坐标方程为:xsinycos+2cossin0(2)把直线的参数方程x=1+tcosy=2+tsin(t为参数),代入椭圆的方程得到:(2+tsin)216+(1+tcos)24=1整理得:(4cos2+sin2)t2+(8cos+4sin)t80,则:t1+t2=-8cos+4sin4cos2+sin2,(由于t1和t2为A、B对应的参数)由于(1,2)为中点坐标,所以利用中点坐标公式t1+t22=0,则:8cos+4sin0,解得:tan2,即:直线l的斜率为29【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cosy=sin,(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程【答案】解:(1)O的参数方程为x=cosy=sin(为参数),O的普通方程为x2+y21,圆心为O(0,0),半径r1,当=2时,过点(0,-2)且倾斜角为的直线l的方程为x0,成立;当2时,过点(0,-2)且倾斜角为的直线l的方程为ytanx-2,倾斜角为的直线l与O交于A,B两点,圆心O(0,0)到直线l的距离d=|2|1+tan21,tan21,tan1或tan1,42或234,综上的取值范围是(4,34)(2)l的参数方程为x=tcosy=-2+tsin,(t为参数,434),设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin+1=0,tA+tB=22sin,tP=2sin,P(x,y)满足x=tPcosy=-2+tpsin,AB中点P的轨迹的参数方程为:x=22sin2y=-22-22cos2,(为参数,434)10【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosy=sin,(为参数),直线l的参数方程为x=a+4ty=1-t,(t为参数)(1)若a1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a【答案】解:(1)曲线C的参数方程为x=3cosy=sin(为参数),化为标准方程是:x29+y21;a1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y30;联立方程x29+y2=1x+4y-3=0,解得x=3y=0或x=-2125y=2425,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(-2125,2425)(2)l的参数方程x=a+4ty=1-t(t为参数)化为一般方程是:x+4ya40,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cos,sin),0,2),所以点P到直线l的距离d为:d=|3cos+4sin-a-4|17
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