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2011-2020十年高考真题与优质模拟题汇编专题18不等式选讲本专题考查的知识点为:不等式选讲,历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:绝对值不等式的解法,不等式的证明,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以不等式的证明为重点较佳.1【2020年全国1卷理科23】已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集【答案】(1)详解解析;(2)-,-76.【解析】(1)因为fx=x+3,x15x-1,-13x1-x-3,x-13,作出图象,如图所示:(2)将函数fx的图象向左平移1个单位,可得函数fx+1的图象,如图所示:由-x-3=5x+1-1,解得x=-76所以不等式的解集为-,-762【2020年全国2卷理科23】已知函数f(x)=x-a2+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.【答案】(1)xx32或x112;(2)-,-13,+.【解析】(1)当a=2时,fx=x-4+x-3.当x3时,fx=4-x+3-x=7-2x4,解得:x32;当3x4时,fx=4-x+x-3=14,无解;当x4时,fx=x-4+x-3=2x-74,解得:x112;综上所述:fx4的解集为xx32或x112.(2)fx=x-a2+x-2a+1x-a2-x-2a+1=-a2+2a-1=a-12(当且仅当2a-1xa2时取等号),a-124,解得:a-1或a3,a的取值范围为-,-13,+.3【2020年全国3卷理科23】设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1(1)证明:ab+bc+ca0,ab+bc+ca=-12a2+b2+c20,b0,c0,a=-b-c,a=1bc,a3=a2a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc2bc+2bcbc=4.当且仅当b=c时,取等号,a34,即maxa,b,c34.4【2019年新课标3理科23】设x,y,zR,且x+y+z1(1)求(x1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x2)2+(y1)2+(za)213成立,证明:a3或a1【答案】解:(1)x,y,zR,且x+y+z1,由柯西不等式可得(12+12+12)(x1)2+(y+1)2+(z+1)2(x1+y+1+z+1)24,可得(x1)2+(y+1)2+(z+1)243,即有(x1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43;(2)证明:由x+y+z1,柯西不等式可得(12+12+12)(x2)2+(y1)2+(za)2(x2+y1+za)2(a+2)2,可得(x2)2+(y1)2+(za)2(a+2)23,即有(x2)2+(y1)2+(za)2的最小值为(a+2)23,由题意可得(a+2)2313,解得a1或a35【2019年全国新课标2理科23】已知f(x)|xa|x+|x2|(xa)(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)当x(,1)时,f(x)0,求a的取值范围【答案】解:(1)当a1时,f(x)|x1|x+|x2|(x1),f(x)0,当x1时,f(x)2(x1)20,恒成立,x1;当x1时,f(x)(x1)(x+|x2|)0恒成立,x;综上,不等式的解集为(,1);(2)当a1时,f(x)2(ax)(x1)0在x(,1)上恒成立;当a1时,x(a,1),f(x)2(xa)0,不满足题意,a的取值范围为:1,+)6【2019年新课标1理科23】已知a,b,c为正数,且满足abc1证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324【答案】证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc1要证(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;因为abc1就要证:abca+abcb+abcca2+b2+c2;即证:bc+ac+aba2+b2+c2;即:2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2;2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0(ab)2+(ac)2+(bc)20;a,b,c为正数,且满足abc1(ab)20;(ac)20;(bc)20恒成立;当且仅当:abc1时取等号即(ab)2+(ac)2+(bc)20得证故1a+1b+1ca2+b2+c2得证(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324成立;即:已知a,b,c为正数,且满足abc1(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33(a+b)(b+c)(c+a);当且仅当(a+b)(b+c)(c+a)时取等号;即:abc1时取等号;a,b,c为正数,且满足abc1(a+b)2ab;(b+c)2bc;(c+a)2ac;当且仅当ab,bc;ca时取等号;即:abc1时取等号;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33(a+b)(b+c)(c+a)38abbcac=24abc24;当且仅当abc1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324得证故得证7【2018年新课标1理科23】已知f(x)|x+1|ax1|(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围【答案】解:(1)当a1时,f(x)|x+1|x1|=2,x12x,-1x1-2,x-1,由f(x)1,2x1-1x1或21x1,解得x12,故不等式f(x)1的解集为(12,+),(2)当x(0,1)时不等式f(x)x成立,|x+1|ax1|x0,即x+1|ax1|x0,即|ax1|1,1ax11,0ax2,x(0,1),a0,0x2a,a2x2x2,0a2,故a的取值范围为(0,28【2018年新课标2理科23】设函数f(x)5|x+a|x2|(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围【答案】解:(1)当a1时,f(x)5|x+1|x2|=2x+4,x-12,-1x2-2x+6,x2当x1时,f(x)2x+40,解得2x1,当1x2时,f(x)20恒成立,即1x2,当x2时,f(x)2x+60,解得2x3,综上所述不等式f(x)0的解集为2,3,(2)f(x)1,5|x+a|x2|1,|x+a|+|x2|4,|x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|,|a+2|4,解得a6或a2,故a的取值范围(,62,+)9【2018年新课标3理科23】设函数f(x)|2x+1|+|x1|(1)画出yf(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值【答案】解:(1)当x-12时,f(x)(2x+1)(x1)3x,当-12x1,f(x)(2x+1)(x1)x+2,当x1时,f(x)(2x+1)+(x1)3x,则f(x)=-3x,x-12x+2,-12x13x,x1对应的图象为:画出yf(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,当x0时,f(0)20a+b,b2,当x0时,要使f(x)ax+b恒成立,则函数f(x)的图象都在直线yax+b的下方或在直线上,f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,不等式f(x)ax+b在0,+)上成立,即a+b的最小值为510【2017年新课标1理科23】已知函数f(x)x2+ax+4,g(x)|x+1|+|x1|(1)当a1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范围【答案】解:(1)当a1时,f(x)x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=12的二次函数,g(x)|x+1|+|x1|=2x,x12,-1x1-2x,x-1,当x(1,+)时,令x2+x+42x,解得x=17-12,g(x)在(1,+)上单调递增,f(x)在(1,+)上单调递减,此时f(x)g(x)的解集为(1,17-12;当x1,1时,g(x)2,f(x)f(1)2当x(,1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(1)f(1)2综上所述,f(x)g(x)的解集为1,17-12;(2)依题意得:x2+ax+42在1,1恒成立,即x2ax20在1,1恒成立,则只需12-a1-20(-1)2-a(-1)-20,解得1a1,故a的取值范围是1,111【2017年新课标2理科23】已知a0,b0,a3+b32证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2【答案】证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)(aa5+bb5)2(a3+b3)24,当且仅当ab5=ba5,即ab1时取等号,(2)a3+b32,(a+b)(a2ab+b2)2,(a+b)(a+b)23ab2,(a+b)33ab(a+b)2,(a+b)3-23(a+b)=ab,由均值不等式可得:(a+b)3-23(a+b)=ab(a+b2)2,(a+b)323(a+b)34,14(a+b)32,a+b2,当且仅当ab1时等号成立12【2017年新课标3理科23】已知函数f(x)|x+1|x2|(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2x+m的解集非空,求m的取值范围【答案】解:(1)f(x)|x+1|x2|=-3,x-12x-1,
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