.,第7章 线性变换,1 线性变换的定义 2 线性变换的运算 3 线性变换的矩阵 4 特征值与特征向量 5 对角矩阵 6 线性变换的值域与核 7 不变子空间 8 Jordan标准形介绍 9 最小多项式,.,，,1 线性变换的定义,一、线性变换的概念 定义 线性空间V到其自身的映射 称为线性空间V的一个变换.,.,定义 设V是数域P上的n维线性空间, A :VV为V的一个变换, 若对任意a,bV 和数kP, 都有 A(a + b ) = A(a) + A(b) A(ka) = kA(a) 则称A是线性空间V的一个线性变换. (linear transformation). 称A(a)或Aa为向量a在线性变换A下的象(image),.,例1 (1) 设A :V V, 若关于任意 aV, 都有A(a)= 0, 则称A 为零变换, 记作O. (2) 设A :VV, 若关于任意 aV, 都有A(a)=a, 则称A 为恒等变换, (identity transformation), 记作E. 注 零变换和恒等变换都是线性变换.,.,例2 设A : VV, k是数域P中常数。定义 A(a)= k a ,aV 则 A 是 V的一个线性变换 。因为 A(a+b)=k(a+b) = ka+kb =A(a)+A(b) A(la) = k(la) = l (ka) = lA(a) 通常称上述变换为数乘变换或位似变换.用K表示. 当k = 0时， K为零变换O； 当k = 1时， K为恒等变换E,.,例3 设rq是把平面上的向量绕坐标原点反 时针旋转q角的变换.设a = (x, y)T, rq (a ) = (x, y)T, 则 (因为x=|rq (a )|cos(j+q ) = |rq (a )|(cosjcosq - sinjsinq ) =xcosq - ysinq 同样 y= xsinq + ycosq )。,.,记 A = 则rq (a ) = Aa，称为旋转变换. 可以证明旋转变换 rq是一个线性变换。（如何证明？）,.,例4 设A:R3R3, a =(a1, a2, a3), 定义 A(a) = (a1, a2, 0), 易证A是线性变换. 它是把向量a投影到平面Oxy上, 称为投影变换,例5 设A :R2R2, a = (a1, a2),定义 A(a)= (a1,-a2), 则A是线性变换,称为镜面反射或反射变换.,.,例6 线性空间Px或Pnx中, 定义D为 求导数的变换，即 D (f (x) = f (x) f (x) Pnx D是一个线性变换，称为微分变换. 例7 闭区间a, b上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换 J(f (x) = 则J是一个线性变换.,.,二、线性变换的简单性质,1、设A是线性空间V的一个线性变换,则 A(0) = 0, A(-a) = - A(a) 2、线性变换保持向量的线性组合与线性 关系式不变.即若 b =k1a1+k2a2+ksas 则 A(b)= k1A(a1)+k2A(a2)+ksA(as),.,3、线性相关的向量组经线性变换后 其象向量组仍线性相关 即a1, ， a2，as线性相关 则 A( a1, )，A(a2)，A(as)也线性相关,.,注 线性无关向量组的象向量组未必线性 无关即 a1， a2，as 线性无关推不出 A(a1)，A(a2)，A(as)也线性无关。,.,2 线性变换的运算,设V是数域P上的线性空间,V的所有 线性变换的集合记作L(V). 设A, B L(V)，若对于所有的aV，都有A (a) = B (a)，则说A, B 是相等的，记作A = B 下面在L(V)中引入乘法、加法、数乘运算,.,一、线性变换的乘法及其性质 设A,BL(V), 定义A与B 的乘积为V 的一个变换, aV, 有 (AB)(a) = A(B(a) 1. AB 也是线性变换 证 因为a, bV和k, lP, 有 (AB)(ka+lb) = A(B(ka+lb) = A(kB(a)+lB(b) = A(kB(a)+A(lB(b) = kA(B(a)+lA(B(b) = k(AB)(a )+l(AB)(b),.,2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC) 因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地 AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有 DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O,.,二、线性变换的加法及其性质,设A,BL(V), 定义A与B的和为V的一个变 换, 使aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a) 1、A + B 也是V的一个线性变换 因为对于所有的a,bV和数k，lP,有 (A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b),.,2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O 其中 (-A)(a)= -A(a), 从而 (A - B) = (A+ (-B) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC (A+B)C = AC+BC,.,三、线性变换的数量乘法及其性质,设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得 kA = KA 其中K为由k决定的数乘变换, 即a V (kA)(a)= (KA)(a) =K(A(a) 1、kA也是线性变换,.,2、(1)1的数乘 1A = A (2)数乘结合律 (kl)A =k(lA) (3)数乘分配律 (k+l)A =kA+lA (4)数乘分配律 k(A +B)=kA+kB 定理 L(V)对于如上定义的加法与 数量乘法构成数域P上的线性空间,.,四、线性变换的逆变换,V的变换A称为可逆的, 如果存在V的变换B, 使 AB= BA=E,这时,变换B称为A的逆变换,记为A-1.,可逆线性变换A的逆变换A-1也是线性变换,.,可逆线性变换A的逆变换A-1也是线性变换,A-1(ka+lb )= A-1k(AA-1)(a)+l(AA-1)(b) = A-1A(kA-1(a )+A(lA-1(b) = A-1A(kA-1(a)+lA-1(b) = (A-1A )(kA-1(a)+lA-1(b)） = kA-1(a)+lA-1(b),.,五、线性变换的多项式,An = AAA (n个) 规定 A0 = E,线性变换的幂满足如下指数法则,Am+n=AmAn , (Am )n=Amn (m, n0),.,当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为 A-n =(A-1)n (n是正整数) 注 线性变换乘积的指数法则不成立, 即一般地 (AB)nAnBn,.,设 f (x)=amxm+am-1xm-1+a0 是Px中一多项式, A是V的线性变换, 定义 f(A)=amAm+am-1Am-1+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式,.,若在Px中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)， 则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地， f(A)g(A)=g(A)f(A). 即同一线性变换的多项式的乘法可交换,.,例 在线性空间Pnl中,求微商是线性变换,用D表示. 显然有 Dn = O 又变量的平移 f(l) | f(l+a) (aP) 也是线性变换, 用Sa表示. 按Taylor公式 f(l+a)=f(l)+af (l)+ f (l)+ + f(n-1)(l) 因此Sa实质上是D的多项式, 即 Sa = E+aD+ D2 + Dn-1,.,3 线性变换的矩阵,一、线性变换作用在基上,定理 设e1, e2, , en是线性空间V的一 组基, a1,a2,an是V中任意取定的n个 向量,则 必存在唯一的线性变换A,使得 Aei = ai i =1,2,n,.,证 存在性 任给a = k1e1+k2e2+knen, 令 A : V V a | k1a1+k2a2+knan 则A是线性变换,且因 ei = 0e1+0ei-1 + ei + 0ei+1+0en Aei =0a1+0ai-1+ai+ 0ai+1+0an = ai,.,唯一性 设有两个线性变换A与B，使 Ae1=Be1, Ae2=Be2, , Aen=Ben， 则对V中任一向量 a=k1e1+k2e2+knen, Aa = k1Ae1+k2Ae2+knAen, = k1a1+k2a2+knan Ba = k1Be1+k2Be2+knBen, = k1a1+k2a2+knan 于是Aa = Ba. 由a的任意性,知 A = B.,.,推论 设e1, e2, , en是线性空间V的一 组基, 如果V的两个线性变换A与B在这 组基上的作用相同,即 Aei = Bei , 则必有 A = B.,.,推论 设x1, x2, , xs是n维线性空间V的一 组线性无关向量, a1,a2,as是V中任意取 定的s个向量,则必存在线性变换A,使 A xi = ai i =1,2,s,证 将x1, x2, , xs扩成V的一组基, 再由定理即得. 注 当sn时, 这样的线性变换不止一个.,.,注(1) 基向量的象可以是任意指定的. 换言之,V中的每一组向量都可 作为基向量 在适当线性变换下的象. (2) 一个线性变换被它在一组基上的作 用完全决定. 亦即,当基向量确定后, 这样 的线性变换是唯一的.,.,二、线性变换在一组基下的矩阵,定义 设e1, e2, , en是数域P上n维 线性空间V的一组基,A是V的线性变 换,则基向量的象可唯一地被基线 性表示为,.,称矩阵 为线性变换A在基e1, e2, , en下的矩阵.,.,采用矩阵形式记号，可写成 Ae1, Ae2, , Aen = e1, e2, , en = e1, e2, , en A 并记 Ae1, e2, , en = Ae1, Ae2, , Aen 则得到 Ae1, e2, , en = e1, e2, , en A,.,例1 设V是数域P上n维线性空间, 则恒等 变换在任一组基下的矩阵都是n阶单位矩 阵E; 零变换在任一组基下的矩阵都是n阶 零矩阵0; 由k决定的数乘变换在任一组基下的 矩阵都是n阶数量矩阵kE.,.,例2 设P3的线性变换A为 A(x1,x2,x3) = (x1, x2, x1+x2) 取一组基e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). 则 Ae1=e1 +e3 Ae2= e2+e3 Ae3=0 ,所以在e1, e2, e3下A的矩阵为,.,例3 在由所有2阶实方阵所构成的线性 空间R22 中，对取定的方阵 A0 = 可以定义变换 A (X ) = A0X， XR22 由矩阵的乘法性质不难验证，A是R22的 一个线性变换，,.,取基 则 AE11 =aE11+0E12+cE21+0E22 AE12 = 0