2 永磁同步电机的公式推导2.1 永磁同步电机的能量转换过程推导永磁同步电机电压平衡方程：（2-1）其中，为转子机械角位移，为转子机械角速度，电机稳定运行时为常数，即。则有（2-2）其中，为电阻压降，表示感应电动势，成为运动电动势。转矩平衡方程：（2-3）其中，为电机电磁转矩，为输出机械转矩，为惯性转矩，为阻力转矩；理想情况下，电机阻力力矩近似为常数，稳定运行时机械加速度为零，所以输出的机械转矩，由于电机阻力力矩近似为常数，电磁功率可近似看作输出机械功率。磁能的表达式：（2-4）由磁能与电磁转矩之间的关系，则：（2-5）其中，表示电流矩阵的转置。则电磁功率为：（2-6）由公式两边同时乘以，则：（2-7）由式（2.7）可知，等式左边为电机输入功率；等式右边为电阻损耗功率，是电磁功率，即电功率转换成机械功率输出的那一部分，表明从电磁耦合场中获得的一半能量转换成了机械能输出；是输入功率除去输出的和内阻损耗功率之后的功率，即为磁场功率。稳态运行时，一个周期内磁场功率应为零，即一个周期内磁场转化的功率与释放的功率相同。2.2 坐标变换（1）变换（Clark变换）设三相绕组和两相绕组每相的绕组匝数分别为N1，N2，将两组磁动势分别投影到轴和轴上：（2-8）前后保持功率不变，可进一步推倒出此时，所以，三相静止坐标系到两相静止坐标系（3s/2s）的“等功率”变换矩阵为：（2）变换（Park变换）同样遵照磁效应等效原则，同一时刻、同一方向上的瞬时磁动势相等，再由功率不变原则得出变换前后各绕组的有效匝数不变，因此可以直接由电流矢量表示合成磁动势。将磁动势投影到正交的 轴、 轴上，由三角关系易得：（2-9）两相静止坐标系到两相旋转坐标系（2s/2r） 的“等功率”变换矩阵为：（3）变换考虑零序电流得 （2-10）则有， （2-11）通过计算可以得出变换矩阵：2.3 旋转坐标系下动态方程（1） 电压方程根据坐标变换，并考虑： （2-12） （2-13）可以得到 （2-14）（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）定子电压方程（2-19）（2-20）（2-21）转子电压方程（2-22）（2-23）（2-24）（2）磁链方程轴上绕组：绕组，阻尼绕组，励磁绕组。轴上绕组：绕组，励磁绕组。在绕组通三相电流，在绕组中的磁链（2-25）其中，为绕组和相绕组重合时的互感在绕组通电流，在绕组中的磁链（2-26）其中，为直轴电枢反应电感令绕组与绕组等效，则（2-27）同理（2-28）轴主磁链（2-29）轴总磁链（2-30）其中，为定子交直轴的漏感若，为定子绕组漏自感和漏互感，则总漏感和零序电感为（2-31）由交直轴磁链得到交直轴同步电感（2-32）定子系统的磁链（2-33）（2-34）（2-35）励磁绕组的磁链（2-36）直轴阻尼绕组的磁链（2-37）交轴阻尼绕组的磁链（2-38）（3）转矩方程同步电动机输入总功率（2-39）由于所以（2-40）变换为磁势不变，而非功率不变，系数不为1。展开得到（2-41）（2-42）2.4 拉格朗日运动方程确定电机的动力变量，广义损耗系数，以应外来广义驱动力，列表如下：表3.1 在广义坐标和广义速度下的系数定子绕组定子绕组转子绕组转子绕组机械转子假设系统为线性的 （2-43）由，可得 （2-44）拉格朗日函数为（2-45）其中，。（2-46）根据式（3.23），同步电机运动方程的推导如下：当时（2-47）则定子绕组轴的电压方程为：（2-48）当时（2-49）则定子绕组轴的电压方程为：（2-50）当时（2-51）则转子绕组轴的电压方程为：（2-52）当时同理可得，转子绕组轴的电压方程为：（2-53）当时（2-54）则力平衡方程为（2-55）综上所述，式（2-46）、（2-50）、（2-51）、（2-52）、（2-56）合起来就是永磁同步电机的运动方程。