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,分式复习,知识点梳理 1. 分式的概念:,AA,A、B 表示两个整式,AB(B0)可以表示为 B 的形式,如果 B 中含有字母,那么我们把式子 B (B 0)叫分式,其中A 叫分子,B 叫分母。 关于分式概念的两点说明: i)分式的分子中可以含有字母,也可以不含字母,但分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别。 ii)分式中的分母不能为零,是分式概念的组成部分,只有分式的分母不为零,分式才有意义,因此,若 分式有意义,则分母的值不为零(所谓分母的值不为零,就是分母中字母不能取使分母为零的那些值)反之, 分母的值不为零时,分式有意义。 2. 分式的值为零 分母的值不等于零 ,分式的值为零分子的值等于零 3. 有理式的概念,分式,多项式,单项式,整式,有理式,4. 分式的基本性质 (1)分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式,分式的值不变。,即 BB M,A A M (M 0),(2)分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式,分式的值不变。,A A M (M 0),即 BB M 注:,cac,1,(1)分式乘法: a,分式的基本性质表达式中的 M 是不为零的整式。 分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。 分式的符号法则:分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。 约分:把分式中分子和分母的公因式约去,叫约分。 注:约分的理论依据是分式的基本性质。 约分后的结果不一定是分式。 约分的步骤: 分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。 分子、分母都除以它们的公因式。 最简分式:如果一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式就叫最简分式。 分式的运算: b d bd,ca dad,b d b c bc,(2)分式除法: a 注:,i)分式的乘除法运算,归根到底是乘法运算。 ii)分式的乘法运算,可以先约分,再相乘。 iii)分式的分子或分母是多项式的先分解因式,再约分,再相乘。,bn, an, a ,(3)乘方: , b n,(n 为正整数),mm,同分母: m,通分:在不改变分式的值的情况下,把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分。 注:分式通分的依据是分式的基本性质。 最简公分母:几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母(因式)的最高次幂的积叫这几个分 式的最简公分母。 分式的加减法: a b a b,nmnmnmn,异分母: m,a b an bm an bm,(6)混合运算:做分式的混合运算时,先乘方,再乘除,最后再加减,有括号先算括号内的。 分式方程:分母里含有未知数的方程叫分式方程。 注:分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别,分母中含未知数就是分式方程,否则就为 整式方程。 列分式方程的一般步骤: 方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程。 列整式方程,求得整式方程的根。 验根:把求得的整式方程的根代入 A,使最简公分母等于 0 的根是增根,否则是原方程的根。 确定原分式方程解的情况,即有解或无解。 增根的概念:在分式方程去分母转化为整式方程的过程中,可能会增加使原分式方程中分式的分母为零 的根,这个根叫原方程的增根,因此列分式方程一定要验根。 注:增根不是解题错误造成的。 列方程解应用题步骤:审、设、列、解、验、答。 例题分析 | x | 1 例 1. 若分式 x 1 的值为零,求 x 的值。 解:,2,x 2 例 2. 若分式 3x 7 的值为负,求 x 的取值范围。,x 2x 2 分析:欲使 3x 7 的值为负,即使 3x 7, 0 ,就要使 x2 与3x 7 异号,而 x2 0,若 x 0 时,3x 7,x 2,x2 0,不能为负,因此,只有3x 7 0 才成立。 解:,xy 例 3. 如果把分式 x y 的 x 和 y 都扩大 3 倍,那么分式的值() A. 不变B. 扩大 3 倍C. 缩小 3 倍D. 缩小 9 倍,例 4. 计算:,12 4x,x 2 x 6, (x 3) ,(1) x 2 4x 4,2x 6,(2),2,2, ,a 1,a 12,a 1a 1,a a2a,1,11,(3) x 1x2 11 x,2,3,(4) ,a 2 2aa 1,a 1a 4a 2 3a 2,a ,a ,例 5. 解方程。,6,23,(1) 1 x1 xx2 1,(2),x 12x 3,2x 3 2x 4 1,例 6. 某人骑自行车比步行每小时快 8 公里,坐汽车比步行每小时快 24 公里,此人从甲地出发,先步行 4 公 里,然后乘汽车 10 公里就到达乙地,他又骑自行车从乙地返回甲地,往返所用的时间相等,求此人步行的速度。,2,4,例 7. 先化简再求值: x 2 xy y 2 x 2 xy 2x 2 (x y)2(x y)2 xyx y,,其中,x 2y 3,x y 2,。,3,2,x2 4,mx,例 8. 方程 x 2x 2 会产生增根,m 的值是多少?,分析:增根是使分式方程的最简公分母等于零的值,这里最简公分母(x 2)(x 2) 若为零,则 x=2 或-2, 解关于 x 的分式方程可求得含 m 的代数式表示的方程的解,利用方程思想问题得以解决。,小结:分式一章的学习是在之前学习了有理数运算,整式运算,分解因式以及方程,方程组和不等式,不 等式组后进行的,在本章的研究过程中,同学们要充分运算已有的知识和思想方法,将代数的学习推向一个新 的高度,在复习过程中,充分理解概念以及性质,熟练掌握各类运算,并会用分式的知识解决实际问题和具体 数学问题。 【模拟试题】(答题时间:50 分钟) 一. 填空题: x 1 1. 分式 x 4 当 x 时,分式有意义,当 x 时,分式值为零。,5,2.,b a () () a ba ba 2 b2 。,3. 约分: 24m2 nz 2,12m4 n 2 z,。, , 4. ,3b, 2a 2 3, 。,5. 在梯形面积公式,S 1 (a b)h 2,中,已知S,h,b ,则a 。,6. 当 x 1时,分式,3xy4,2x 4k,的值等于零,则k 。,7.,11,z,4x3 y 22x2 y3 z,,,,,3xy4 的最简公分母是 。,8. 方程, x 1,x 1 3 mm 1,是关于 的分式方程。,1 9. 当 x 时,分式 2 x 的值为正数。, 1,3 x,10. m= 时,方程 x 3,xm,有增根。,二. 选择题:,x 4,1. 下面各分式: x 2 x,x 2 1x yx 2 x 2 16 x 2 4,,,)个。,A. 4B. 3,x 2 y 2x 1 C. 2,,其中最简分式有( D. 1,2. 下面各式,正确的是(,),A.,3,x,x 2,x 6 ,B.,b c b,a ca,C.,a b,a b 1,D.,a b,a b 0,3xy 3. 如果把分式 x y 中 x、y 都扩大为原来的 5 倍,那么分式的值(),6,A. 扩大 5 倍 C. 缩小 5 倍,B. 扩大 4 倍 D. 不变,4. 已知,ab 1,,则,a b , a 1 b 1 , 的值为(),A. 2a2,B.,2b2,C. b2 a2,D. a2 b2,三. 计算题:,1.,16,m 3m2 9,2.,x2 4 y 2x2 2xy,x 6 y2 y,3.,1 a 3 a 2 2a 1 a 1a 2 1 (a 1)(a 3),b2 2b,b2 1,4. , b2, 4 (b 1) , b 1,1.,x 2x 2,四. 解方程: x x 2,2.,7,1,y 2 1y 2 yy 2 y,27,五. 化简求值:,8, 1 ,m2 m 2m 2 m 2 ,m 631,,其中,m 3,。,六. 应用题: A、B 两地相距 50 千米,甲骑自行车,乙骑摩托车,都从 A 地到 B 地,甲先出发 1 小时 30 分,乙的速度 是甲的 2.5 倍,结果乙先到 1 小时,求甲、乙两人的速度。,【试题答案】 一. 填空题:,1. 4,1,2.,a b,a2 2ab b2,3.,2z,2 m n,4.,27b3,6 8a,5.,h,2S bh,6., 1 2,7. 12 x3 y 4 z,8. m,9. 2,10., 3,二. 选择题: 1. D,2. C,3. A,4. D,三. 计算题:,1.,1,m 3,2.,x2 2xy,x 2 y,3.,2,a 2 2a 1,4.,b,b 2,四. 解方程:,1.,x 2 3,2. 解得 y 1,经检验 y 1是原方程增根,原方程无解,五. 化简求值:,m 6 化简得 3(m 2) ,当 m 3时,原式, 1 5,六. 解:设甲速为 x 千米/时,则乙速为 2.5 千米/时,依题意,有:,60,9, 1 30 1,50 50,x2.5x,解得: x 12 经检验 x 12 是原方程的根,且符合题意 当 x 12 时, 2.5x 30 答:甲速度为 12 千米/时,乙速度为 30 千米/时。,
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