9 几何学的变革,欧几里得平行公设 非欧几何的诞生 非欧几何的发展与确认 射影几何的繁荣 几何学的统一,9 几何学的变革,欧氏几何在公元前300年就已产生，其特征是建立了公理化方法：即从几个概念和几个命题，演绎出本学科其它所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科学。 欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的原本中，在其之后的2200后，希尔伯特在几何基础加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。,9 几何学的变革,然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公设，即平行公设的问题。因为人们发现即使欧几里得本人也尽量避免使用它。,9 几何学的变革,9.1 欧几里得平行公设 第五公设（即平行公设） 寻求第五公设的证明 非欧几何的孕育,9 几何学的变革,9.1 欧几里得平行公设 一 第五公设（即平行公设） 原本中五个公设： 1 由任意一点到另外任意一点可以画直线 2 一条有限直线可以继续延长 3 以任意点为心及任意的距离可以画圆 4 凡直角都彼此相等 5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交,9.1 欧几里得的平行公设,从古希腊时代开始，人们一直对第五公设有疑问，二千年来，数学家们一直在想消除这个疑问，其途径有二：一是用更为自明的命题代替第五公设；二是证明它，使其成为一个定理。 两千年来提出众多的替代公设有：,9.1 欧几里得的平行公设,存在一对同平面的直线彼些处处等距离 过己知直线外一点能且只能作一条直线与己知直线平行 存在一对相似但不全等的三角形 如果一个四边形有一对对边相等，并且它们与第三边构成的角均为直角，则余下的两个角也是直角,9.1 欧几里得的平行公设,如果四边形有三个角是直角，则第四个角也是直角 至少存在一个三角形，其三角和等于二直角 过任何三个不在同一直线上的点可作一圆 三角形的面积无上限 但所有这些替代公设，也不自明。,9.1 欧几里得的平行公设,二 寻求第五公设的证明 多少世纪以来，试图证明第五公设的人是如此之多，差不多够一个军团，但所有这些尝试均告失败。,9.1 欧几里得的平行公设,三 非欧几何的孕育 1 萨凯里（Saccheri） 著欧几里得无懈可击（1733） 从著名的“萨凯里四边形”出发证明平行公设 2 克吕格尔 1763年，克吕格尔指出萨凯里的工作并未导出矛盾，他怀疑能否证明平行公设,9.1 欧几里得的平行公设,3 兰伯特 著平行线的理论（1766） 他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。 兰伯特最先指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。 萨凯里、克吕格尔、兰伯特是非欧几何的先行者。,平行公理的研究(公元前3世纪至1800年),非欧几何的孕育,欧几里得,普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819),勒让德(法, 1752-1833),若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.,勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832),1733年萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击,非欧几何的孕育,非欧几何的孕育,1766年兰伯特(法, 1728-1777)平行线理论不认为锐角假设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何,1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑的数学家,1820年F鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”,9.2 非欧几何的诞生,高斯 波约 罗巴切夫斯基,9.2 非欧几何的诞生,一 高斯（Gauss，17771855） 1799年，高斯意识到平行公设不能由其它欧氏公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何学，称之为反欧几里得几何学，但高斯生前未发表。,9.2 非欧几何的诞生,二 波约（18021860） 1823年，波约开始理解平行公设问题的实质，称“我要白手起家创造一个奇怪的新世界”。波约称他的非欧几何为“绝对几何”。 著绝对空间的科学,9.2 非欧几何的诞生,三 罗巴切夫斯基（17921856） 1826 简要论述平行线定理的一个严格证明 1829 论几何原理 18351838 系列论文 具有完备的平行线理论的新几何学原理 1840 平行理论的几何研究,9.2 非欧几何的诞生,罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时，假设其反面之一：“过已知直线外一点，可作多于一条的直线与已知直线平行”，得到了一系列定理，并且认为他得到了一门新的几何学。 罗巴切夫斯基宣布自己建立了新的几何学之后，遭到了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上，罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在他去世几十年后的事了。,非欧几何,1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几里得几何,1832年波约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学,几何学上的哥白尼,1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明,罗巴切夫斯基(苏联, 1951),非欧几何,罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教授、校长 1815年着手研究平行线理论，试图给出平行公设的证明 1826年在物理数学系会议宣读简要论述平行线定理的一个严格证明 1829年论文几何学原理在喀山大学通报全文发表 直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得社会的承认和赞美,鲍约(罗马尼亚, 1960),非欧几何,鲍约父子之墓,9.3 非欧几何的发展与确认,黎曼几何 非欧几何的相容性 公理系统的相对相容性的证明 非欧几何的意义,9.3 非欧几何的发展与确认,非欧几何从发现到获得普遍接受经历了曲折的道路，要达到这一目标，需要确定非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。 一 黎曼几何 黎曼（Rieman，18261866）在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想，建立了现称为“黎曼几何”的一种更广泛的几何，欧氏几何、罗氏几何、黎曼非欧几何都只是其特例。,9.3 非欧几何的发展与确认,在罗氏几何产生后的1854年，德国数学家黎曼把欧氏第五公设改为：“过已知直线外一点，没有与其平行之直线”，得到的一种新的几何学黎曼非欧几何，为非欧几何的另一翼。,9.3 非欧几何的发展与确认,在黎曼几何中，最重要的一种对象是常曲率空间，对于三维空间，有下列情形： 曲率为正常数 黎曼非欧几何 椭圆几何 曲率为负常数 罗氏非欧几何 双曲几何 曲率恒为零 欧氏几何,内蕴几何，流形曲率,1854年黎曼(德, 1826-1866)关于几何基础的假设,非欧几何,非欧几何,1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学,黎曼(德, 1826-1866),“ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”,9.3 非欧几何的发展与确认,二 非欧几何的相容性 三 公理系统的相对相容性的证明,模型与相容性,1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899),非欧几何,曳物线,1871年克莱因(德, 1849-1925),1882年庞加莱(法, 1854-1912),非欧几何,克莱因-庞加莱圆,9.3 非欧几何的发展与确认,四 非欧几何的意义 1 解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。,9.3 非欧几何的发展与确认,2 证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了“元数学”的产生和发展。,9.3 非欧几何的发展与确认,3 非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论的科学发现。,9 几何学的变革,9.4 射影几何的繁荣,蒙日(法国, 1953),1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的位置几何学,卡尔诺(法国, 1950),1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学,射影几何,早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662),综合方法,对偶原理,1822年庞斯列(法, 1788-1867)的论图形的射影性质,射影几何,代数方法,射影几何,射影几何,9 几何学的变革,9.5 几何学的统一 爱尔朗根纲领（克莱因，1872年）： 所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何只是研究与特定的变换群有关的不变量。 克莱因以射影几何为基础、对几何学做了分类。,所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。,1872年克莱因(德, 1849-1925)的爱尔朗根纲领,统一的几何学,1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界数学的中心之一,爱尔朗根纲领,统一的几何学,克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”,几何学的公理化,1899年希尔伯特几何基础,选择和组织公理系统的原则,希尔伯特(德, 1862-1943),“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个历史悠久的问题；关于这个问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。” 本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”,