1 角的概念的推广 【学习要求】 1 理解正角、负角、零角与象限角的概念 2 掌握终边相同角的表示方法 【学法指导】 1 解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个 “ 要素 ” ：顶点、始边、终边和旋转方向 2 确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量 3 学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义 . 知识要点、记下疑难点1 角的概念 (1) 角的概念：角可以看成平面内 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所成的图形 (2) 角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按 形成的角 负角 按 形成的角 零角 一条射线 ，称它形成了一个零角 一条射线 知识要点、记下疑难点2 象限角 角的顶点与坐标原点重合 ， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合 ， 那么 ， 角的终边 ( 除端点外 ) 在第几象限 ， 就说这个角是 如果角的终边在坐标轴上 ， 就认为这个角不属于任何一个象限 3 终边相同的角 所有与角 终边相同的角 ， 连同角 在内 ， 可构成一个集合S | ， 即任一与角 终边相同的角 ，都可以表示成角 与 的和 . 第几象限角 k 36 0 ， k Z 问题探究、课堂更高效探究点一 角的概念的推广 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量因此，从 “ 旋转 ” 的角度，对角作重新定义如下：一条射线 着端点 O 旋转到 位置所形成的平面图形叫作角，射线 角的始边， 角的终边， O 叫角的顶点 问题 1 正角、负角、零角是怎样规定的？ 答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角 问题探究、课堂更高效问题 2 根据角的定义，图中角 120 ； ； ； ； . 问题 3 经过 10 小时，分别写出时针和分针 各 自旋转所形成的角 答 经过 10 小时，时针旋转形成的角是 300 ，分针旋转形成的角是 3 600 . 240 120 240480问题 4 如果你的手表快了 时，只需将分针旋转多少度 就可以将它校准？ 答 将分针旋转 450 或 3 87 0 即可校准 问题探究、课堂更高效探究点二 终边相同的角 今后我们常在直角坐标系内讨论角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转 360后回到原来的位置终边相同的角相差 360 的整数倍因此，所有与角 终边相同的角 ( 连同角 在内 ) 的集合 S | k 360 ， k Z 问题探究、课堂更高效根据终边相同的角的概念，回答下列问题： 问题 1 已知集合 S | k 360 60 ， k Z ，则 240 S, 300 S ， 1 020 S .( 用符号： 或 填空 ) 问题 2 集合 S | k 360 30 ， k Z 表示与角 终边相同的角，其中最小的正角是 . 问题 3 已知集合 S | 45 k 180 ， k Z ，则角 的终边落在 上 30330 问题探究、课堂更高效探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角 问题 1 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在 x 轴、 y 轴各半轴上的角，请完成下表 . 终边所在的位置 角的集合 x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 | k 36 0 ， k Z | k 3 6 0 180 ， k Z | k 3 6 0 90 ， k Z | k 3 6 0 270 ， k Z 问题探究、课堂更高效问题 2 下表是终边落在各个 象限的角的集合，请补充完整 . 终边所在的象限 角 的集合 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 |k 36 0 k 36 0 90 ， k Z |k 36 0 90 k 36 0 180 ， k Z |k 36 0 18 0 k 36 0 270 ， k Z |k 36 0 90 k 36 0 ， k Z 问题探究、课堂更高效问题 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S . 答 S | k 360 ， k Z | k 360 180 ， k Z | 2 k 18 0 ， k Z | (2 k 1) 180 ， k Z | n 180 ， n Z 问题 4 写出终边落在 y 轴上的角的集合 T . 答 T | 90 2 k 180 ， k Z | 90 180 2 k 180 ， k Z | 90 2 k 180 ， k Z | 90 (2 k 1) 180 ， k Z | 90 n 180 ， n Z 问题探究、课堂更高效 典型例题 例 1 在 0 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 ( 1) 150 ； ( 2) 650 ； ( 3) 950 15 . 解 ( 1) 因为 150 360 210 ，所以在 0 360 范围内，与 150 角终边相同的角是 210 角，它是第三象限角 ( 2) 因为 650 360 290 ，所以在 0 360 范围内，与 650 角终边相同的角是 290 角，它是第四象限角 ( 3) 因为 950 15 3 360 129 45 ，所以在 0 360 范围内，与 950 15 角终边相同的角是 129 45 角，它是第二象限角 问题探究、课堂更高效小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系： k 360 ，k Z ，把所给的角化归到 0 360 范围内，然后利用 0 360范围内的角分析该角是第几象限角 问题探究、课堂更高效跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： ( 1) 1 40 0 ； ( 2) 2 01 0 . 解 ( 1) 1 40 0 3 360 320 ， 320 是第四象限角， 1 40 0 也是第四象限角 ( 2) 2 010 6 360 150 ， 2 010 与 150 终边相同 2 01 0 是第二象限角 问题探究、课堂更高效例 2 写出终边落在直线 y x 上的角的集合 S ，并把 S 中适合不等式 360 720 的元素 写出来 解 直线 y x 与 x 轴的夹角是 45 ，在 0 360 范围内，终边在直线 y x 上的角有两个： 45 ， 225 . 因此，终边在直线 y S | 45 k 360 ， k Z | 225 k 360 ， k Z | 45 2 k 180 ， k Z | 45 (2 k 1) 180 ， k Z | 45 k 180 ， k Z S 中适合 360 720 的元素是： 45 2 180 315 ； 45 1 180 135 ； 45 0 180 45 ； 45 1 180 225 ； 45 2 180 405 ； 45 3 180 585 . 小结 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意，把最后角的集合化成简约的形式 问题探究、课堂更高效跟踪训练 2 求终边在直线 y x 上的角的集合 S . 解 由于直线 y x 是第二、四象限的角平分线，在 0 360间所对应的两个角分别是 135 和 315 ， 从而 S | k 360 135 ， k Z