平面几何基础知识（基本定理、基本性质） 1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平 方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平 方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍 2 射影定理（欧几里得定理） 3 中线定理 （巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有)(2 2222 BPAPACAB； 中线长： 2 22 222 acb ma 4 垂线定理： 2222 BDBCADACCDAB 高线长：CbBcA a bc cpbpapp a hasinsinsin)()( 2 5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成 比例 如ABC 中，AD 平分BAC，则 AC AB DC BD ； （外角平分线定理） 角平分线长： 2 cos 2 )( 2A cb bc apbcp cb ta （其中p为周长一半） 6 正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin ， （其中R为三角形外接圆半径） 7 余弦定理：Cabbaccos2 222 8 张角定理： AB DAC AC BAD AD BAC sinsin sin 9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有 AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD 10圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半 （圆外角如何转化？） 11弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12圆幂定理： （相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理） ：切线长定理： ） 13布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形 ABCD 中，ACBD，自对角 线的交点 P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14点到圆的幂：设 P 为O 所在平面上任意一点，PO=d，O 的半径为 r，则 d2 r2就是点 P 对于O 的幂 过 P 任作一直线与O 交于点 A、B， 则 PAPB= |d2r2| “到 两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线， 如果此二圆相交， 则该轨迹 是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴” 三个圆两两的 根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对 于三个圆等幂 当三个圆两两相交时， 三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点 15托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即 ACBD=ABCD+ADBC，(逆命题成立) （广义托勒密定理）ABCD+ADBCACBD 16蝴蝶定理：AB 是O 的弦，M 是其中点，弦 CD、EF 经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证：MP=QM 17费马点：定理定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于 到另一顶点的距离； 不在等边三角形外接圆上的点， 到该三角形两顶点距离之和大于到 另一点的距离定理定理 2 三角形每一内角都小于 120时，在三角形内必存在一点，它 对三条边所张的角都是 120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点” ，当三 角形有一内角不小于 120时，此角的顶点即为费马点 18拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且 AEBFCD，这个命题称为拿破仑定理以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C1、A1、B1 的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1、A1、B1三圆共点，外拿破仑三 角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、BCE、 CAF，它们的外接圆C2、A2、B2的圆心构成的内拿破仑三角形， C2、A2、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三 角形还具有相同的中心 19九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中，三边中心、从各顶 点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 20欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧 拉线）上 21欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，外心与内心的 距离为 d，则 d2=R22Rr 22锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和 23重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成 2：1 的两部分； ) 3 , 3 ( CBACBA yyyxxx G 重心性质： （1） 设 G 为ABC 的重心， 连结 AG 并延长交 BC 于 D， 则 D 为 BC 的中点， 则1:2:GDAG； （2）设 G 为ABC 的重心，则 ABCACGBCGABG SSSS 3 1 ； （3）设 G 为ABC 的重心，过 G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交 AB 于 P，交 BC 于 F，过 G 作 HKAB 交 AC 于 K，交 BC 于 H， 则2; 3 2 AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设 G 为ABC 的重心，则 222222 333GCABGBCAGABC； )( 3 1 222222 CABCABGCGBGA； 2222222 3PGGCGBGAPCPBPA（P 为ABC 内任意一点） ； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即 222 GCGBGA最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心； 反之亦然 （即满足上述条件之一， 则 G 为ABC 的重心） 24垂心：三角形的三条高线的交点； ) coscoscos coscoscos , coscoscos coscoscos ( C c B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CBACBA 垂心性质： （1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍； （2）垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上； （3）ABC 的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆； （4）设O，H分别为ABC的外心和垂心，则 HCABCOABHCBOHACBAO, 25内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等； ),( cba cybyay cba cxbxax I CBACBA 内心性质： （1）设 I 为ABC 的内心，则 I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然； （2）设 I 为ABC 的内心，则CAIBBAICABIC 2 1 90, 2 1 90, 2 1 90； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等； 反之，若A平分线交ABC 外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB， 则 I 为ABC 的内心； （4）设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCA平分线交 BC 于 D，交ABC 外 接圆于点 K，则 a cb KD IK KI AK ID AI ； （5）设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCI 在ABACBC,上的射影分别为FED ,， 内 切 圆 半 径 为r， 令)( 2 1 cbap， 则 prS ABC ； cpCDCEbpBFBDapAFAE;；CIBIAIpabcr 26外心： 三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心， 即外心到三角形各顶点距离相 等； ) 2sin2sin2sin 2sin2sin2sin , 2sin2sin2sin 2sin2sin2sin ( CBA CyByAy CBA CxBxAx O CBACBA 外心性质： （1）外心到三角形各顶点距离相等； （2）设 O 为ABC 的外心，则ABOC2或ABOC2360； （3） S abc R 4 ； （4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外 接圆半径之和 27旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC 的三边 ,cABbACaBC令)( 2 1 cbap，分别与ABACBC,外侧相切的旁切圆圆心记为 CBA III,，其半径分别记为 CBA rrr, 旁心性质： （1）, 2 1 , 2 1 90ACBICBIACBI CBA （对于顶角 B，C 也有类似的 式子） ； （2）)( 2 1 CAIII CBA ； （3）设 A AI的连线交ABC 的外接圆于 D，则DCDBDIA（对于 CB CIBI ,有同样的 结论） ； （4）ABC 是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径R等于ABC 的直径 为 2R 28三角形面积公式： CBAR R abc CabahS aABC sinsinsin2 4 sin 2 1 2 1 2 )cotcot(cot4 222 CBA cba )()(cpbpapppr，其中 a h表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半 径， )( 2 1 cbap 29三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系： ; 2 sin 2 cos 2 cos4, 2 cos 2 sin 2 cos4, 2 cos 2 cos 2 sin4; 2 sin 2 sin 2 sin4 CBA Rr CBA Rr CBA Rr CBA Rr cba . 1111 ; 2 tan 2 tan , 2 tan 2 tan , 2 tan 2 tan rrrrBA r r CA r r CB r r cba cba 30梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不 经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有1 RB AR QA CQ PC BP （逆定理也成 立） 31梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于 Q，C 的 平分线交边 AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线 32梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的 切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线 33塞瓦(Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、 BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB BX XC CY YA=1 34塞瓦定理的应用定理： 设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、 AC 的交点分别 是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 一定过边 BC 的中点 M 35塞瓦定理的逆定理： （略） 36塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线 交于一点，三角形的三条角分线交于一点 37塞瓦定理的逆定理的应用定理 2：设ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切 于点 R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点 38西摩松（Simson）定理：从ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或 其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线， （这条直线叫西摩松 线 Simson line） 39西摩松定理的逆定理： （略） 40关于西摩松线的定理 1：A