1 第一部分第一部分 基本不等式 第一章第一章 AM-GM 不等式不等式 1.1AM-GM 不等式及应用 定理 1 （AM-GM 不等式）对所有正实数 12 , n a aa，下列不等式成立 12 12 n n n aaa a aa n 当且仅当 12n aaa时，等号成立。 证明：当2n 时，不等式显然成立。如果不等式对 n 个正实数成立，那么它对 2n 个 正实数也成立。这是由于 2 12212122122 2 nnn nnnnnn aaan a aan aaana aa ， 因此不等式对 n 是 2 的指数幂形式个正实数是成立的。假设不等式对 n 成立，我们设 121 ; 1 nn s asaaa n ， 依据归纳假设，我们有 121 1 1 121 (1) 11 n n n n sa aa snsna aa nn 因此， 如果不等式对 n 个正实数成立， 那么它对1n个正实数成立， 由归纳法 （Cauchy 归纳）可知，不等式对每一个自然数 n 都是成立的。当且仅当 12n aaa时，等 号成立。 AM-GM 不等式作为一个著名的、应用广泛的定理，在证明不等式方面也是不可 缺少的。下面通过一些有名的不等式来研究它的强大的应用。 案例案例 1（Nesbitt 不等式） （a）证明对所有非负实数, ,a b c， 3 2 abc bccaab （b）证明对所有非负实数, , ,a b c d，2 abcd bccddaab 证明： （a）考虑下列表达式 abc S bccaab ； bca M bccaab ； 2 cab N bccaab ； 我们有3MN，根据 AM-GM 不等式，我们得到 3 abbcca MS bccaab ； 3 acabbc NS bccaab ； 所以26MNS，即有 3 23 2 SS （b）考虑下列表达式 abcd S bccddaab ； bcda M bccddaab ； cdab N bccddaab ； 则4MN。根据 AM-GM 不等式，我们有 4 abbccdda MSS bccddaab ； acbdacbdacacbdbd NS bccddaabbcdacdab 4()4() 4 acbd abcdabcd ； 因此，28MNS，即242SS。当且仅当abcd或,0ac bd或 0,acbd 案例案例 2（加权 AM-GM 不等式） 假设 12 , n a aa是正实数，如果 n 个非负实数 12 , n x xx的和为 1，则 12 1 12312 n xxx nnn a xa xa xa aa 证明：这个不等式的证明和经典 AM-GM 不等式的证明是类似的。 在2n 的情形，我们必须详细的证明（因为不等式中出现了实数指数） 。我们先来证 明，如果,0,1x yxy以及,0a b ，则 xy axbya b 3 证明这个不等式的最简单的方法是考虑, x y是有理数的情况，至于实数我们可以采用 极限的方法来进行。 如果, x y是有理数， 设,( ,) mn xym nN mnmn ， 根据 AM-GM 不等式，我们有 () mn xy m nm n manbmn abaxbya b 如果, x y是实数，则存在两个有理数序列 , (0,) nn rsnnN，使得 ,1 nnnn rx sy rs 。于是 nn rs nn arbsa b或者 1 (1) nn rr nn arbra b 取极限，令n ，我们有 xy axbya b 尽管 AM-GM 不等式非常简单，但它在数学竞赛中的不等式证明方面扮演着重要 的角色。下面的一些例子来帮助你熟悉这个重要的不等式。 例例 1.1.1 设, ,0a b c 且3abc，证明：abcabbcca 证明：注意到恒等式 2222 2()()()abbccaabcabc 则该不等式等价于 2 29 cyccyc aa 由 AM-GM 不等式，我们有 22 2()39 cyccyccyccyc aaaaaa 所以，不等式成立。 例例 1.1.2 设, ,0 x y z 且1xyz ，证明： 333 3 (1)(1)(1)(1)(1)(1)4 xyz yzzxxy 【IMO Shortlist 1998】 证明：利用 AM-GM 不等式，我们有 3 113 (1)(1)884 xyzx yz 因此 4 33 1313 (1)(21) (1)(1)44(1)(1)44 cyccyccyccyccyc xxx xx yzyz 当1xyz时，等号成立。 例例 1.1.3 设, ,0 x y z ，证明： 3 2() 1112 xyzxyz yzxxyz （APMO 1998） 证明：不等式整理之后等价于 3 xyzxyz yzxxyz 由 AM-GM 不等式，我们有 333 222333 3 xyzxyyzzxxyz yzxyzzxxyxyzxyzxyz 即 3 xyzxyz yzxxyz 例例 1.1.4 设, , ,0a b c d ，证明： 3 16()()abcbcdcdadababcd 证明：应用 AM-GM 不等式，我们得到 16()16() 16()abcbcdcdadabab cdcd ab 22 4() ()4() ()4()()()abcdcdababcdab cd 3 ()abcd 当且仅当abcd时，成立等号。 例例 1.1.5 设, ,a b c是周长为 3 的三角形的三边长，证明 1119 abbccaabcbcacab （Pham Kim Hung） 证明：设,xbca ycab zabc，我们有 222 3xyz。 不等式变为 5 222222 11136 9xyzx yy zz x 又设,mxy nyz pzx，则上述不等式等价于 222 ()(9)36mnp mnpmnp 由 AM-GM 不等式，我们有 3 3mnpmnp 222222222 126 911121112mnpmnpmnpmnp 两式相乘即得 222 ()(9)36mnp mnpmnp 所以，原不等式成立。 例例 1.1.6 设 12 , n a aa是正实数，且满足0, 1,2, i ai in，证明： 222 1121212 2()()(1) n nn a aaaaana aa【Phan Thanh Nam】 证明：根据 AM-GM 不等式，我们有 12 12 12 12 k k aaa aaak k 242 (1)(1)(1) 12 (1) 212 k k kk kk k k k kaaa k ， 将上述不等式对于1,2, kn，相乘，我们有 2 (1) 12 1111 (1)!(1)! () 22 i i c nnkn k k ii k n kkii k kan na aaa ii 这里的指数 i c 由下式确定 11111 222 (1)(1)(2)(1)1 i cii i iiin nin 6 这是由于 2 1,2, , i c ii i aa aiin ii 。因此 2 222 1121212 1 !(1)!1 ()() 22 n i nn nn i n nan a aaaaaa aa i 当且仅当(1,2, ) i ai in时，成立等号。 例例 1.1.7 设, ,a b c是正实数，证明： 333333 1111 ababcbcabccaabcabc 【USAMO 1998】 证明：注意到 33 ()abab ab，所以 33 () abcabcc ababcab ababcabc 类似地可得另外两个不等式，并将它们相加，我们有 333333 1 abcabcabc ababcbcabccaabc 所以，原不等式成立。 注意：IMO Shortlist 1996 类似的问题 设, ,x y z是和为 1 的三个正数，证明： 555555 1 xyyzzx xxyyyyzzzzxx 例例 1.1.8 如果 12 ,0 n x xx ，且满足 12 111 1 111 n xxx ，证明： 12 (1)n n x xxn 证明：所给条件变形为 121 111 1111 n nn x xxxx 应用 AM-GM 不等式，我们有 1 121 1 1(1)(1)(1) n n n n xn xxxx 类似地可得其他1n个不等式，并将它们相乘，即得所证不等式。 7 例例 1.1.9 设, ,x y z是正数，且满足 555 3xyz，证明： 444 333 3 xyz yzx 证明：注意到 2 555105510551055 2229xyzxx yyy zzz x 从这个形式，我们利用 AM-GM 不等式，可得 100444 55105555101010 19 333 6 10 106319 xxx x yxx yx yxxxx yyy 类似地，可得 1004 5510 19 3 106319 y y zyy z 1004 5510 19 3 106319 z z xzz x 将上述三个不等式相加，我们有 100100100444 2 555 191919 333 10319 xyz xyzxyz yzx 于是，只需证明下列不等式 100100100 555 191919 xyzxyz 而这是成立的。事实上， 100100100 5555 191919 () 193 19(1 19)20 cyccyccyccyc xyzxxxx 例例 1.1.10 设, ,0,1a b cabc， 证明：3 111 abbcca abc （Mathlinks Contest） 证明：由 AM-GM 不等式，我们有 3 6 ()()() 33 111(1)(1)(1) abbccaab bc ca LHS abcabc 于是，我们只需证明 ()()()(1)(1)(1)ab bc caabc（*） 8 由于1abc ，所以（*）等价于 ()()()ab abbc bcca caabcabbcca 根据 AM-GM 不等式，我们有 2222 2()5 cyccyccyc LHSaba ba ba ca cbca 2222 2()5 cyccyccyc LHSaa ba bb ab acab 由此 42544444 cyccyccyccyccyccyc LHSabaababLHSaabRHS 所以，原不等式成立。当且仅当1abc，等号成立。 例例 1.1.11 设, ,a b c是某三角形的三边长，证明： () () () abcabc abcbcacaba b c 证明：由加权 AM-GM 不等式，我们有 abc a b ca b ca b c abcbcacab abc 1 aabcbbcaccab abcaabcbabcc 整理即得 () () () abcabc abcbcacaba b c 当且仅当abc时，成立等号。 例例 1.1.12 设, ,0,2a b cabc，证明： 222222 2a bb cc a 证明：由恒等式 222222222 ()()()()()()abbcca abcab abbc bcca caabc abc 我们有 222222222 ()()()()()abbcca abcab abbc bcca ca 222222 2 a bb cc b（*） 利用 AM-GM 不等式，以及 2222 2()()4abcabbccaabc，我们有 9 2 222 222 2()() 2()()4 2 ab