圆心角圆心角所对所对 的弧为的弧为 AB， AOBAOB 过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线, 垂足垂足 为为M, O A B M 顶点在圆心的角顶点在圆心的角,叫叫圆心角圆心角， 如如, AOBAOB 所对的弦为所对的弦为AB； 图图1 OM是唯一的。是唯一的。 则垂线段则垂线段OM的长度的长度,即圆即圆 心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距, 图图1 中，中，OM为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 2、下列图中弦心距做对了的是（） 由上分析，任意给圆心角，对应出现由上分析，任意给圆心角，对应出现 四个量：四个量： 圆心角圆心角 弧弧 弦弦弦心距弦心距 圆心角圆心角 弧弧 之间的关系 弦弦弦心距弦心距 课题 猜猜想：想： ?,BOAAOB.2 情况又如何若 图 2 也就是在也就是在 图图2 中研究不同的圆中研究不同的圆 心角心角、，以及它们，以及它们 所对的弧所对的弧, 弦弦, 弦的弦心距弦的弦心距 OM、之间的关之间的关 系。系。 B BO OA A B BA AABAB、 AOBAOB MMO O B BA AABAB、 .MOOM,BAAB BAAB,BOAAOB1. = = = = = = = =，则若 ? ? 圆的旋转不变性：圆的旋转不变性： 圆绕圆心旋转任意角，都能 够与原来的圆重合。 注：注： =180O旋转，旋转， 说明圆是以圆心为对称中说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。心的中心对称图形。 图图 3 1 . 射线射线OB与射线与射线OB重合吗重合吗?为什么为什么? 2 . 点点A与与A ，点，点B与与B 重合吗？重合吗？ 为什么？为什么？ 4 . OM 与与OM 呢？为什么？呢？为什么？ 于是，若于是，若AOB = AOB， 则则AB=AB , AB= AB , OM=OM . 3 . AB与与A B ,弦弦AB与弦与弦A B重合吗？为什么？重合吗？为什么？ 将将AOB连同连同AB绕圆心绕圆心O旋转，旋转， 使射线使射线OA与射线与射线OA 重合重合 , 则：则： 图图 4 如图，如图，O 和和O 是等圆，是等圆， 如果如果AOB= AOB 那么那么AB=AB 、AB= AB 、OM=OM, 为什么？为什么？ ? 圆心角定理圆心角定理 : : 在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。距相等。 已知：如图已知：如图5, AOB = AOB , OM、OM 分别是弦分别是弦AB、弦、弦 AB 的弦心距的弦心距. 求证：求证： AB=AB , AB= AB , OM=OM 证明：证明：将将AOB连同连同AB绕圆心绕圆心O旋转，旋转， 使射线使射线OA与射线与射线OA 重合重合 . 又根据弦心距的唯一性，得又根据弦心距的唯一性，得OM=OM 图图 5 BAAB,BAAB BB,AA BOOB,AOOA BOOB = = = = = = = = = = 重合 与 合 重 与 重合 与 BOAAOB 另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可 叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题， 命题成立。 条件条件结论结论 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 如果圆心角相等如果圆心角相等 那么那么 圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角所对的弦的弦心距相等 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 如果弦相等如果弦相等 那么那么 弦所对的圆心角相等弦所对的圆心角相等 弦所对的弧（指劣弧）相等弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等弦的弦心距相等 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 如果弦心距相等如果弦心距相等 那么那么 弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 如果弧相等如果弧相等 那么那么 弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等 推论：(圆心角定理的逆定理) 在同圆或等圆中，如果两个圆心在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。对应的其余的各组量都分别相等。 例例1 如图，已知点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点在圆外，点在圆外， 以以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。 求证：求证：AB=CD 分析：分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON， 证明证明: 作作, 垂足分别为垂足分别为M 、N 。CDCDONON , , ABABOMOM CDCDONON ABABOMOM NPONPOMPOMPO = OM=ONAB=CD . P A B E C M N D F 要证要证AB=CD ，只需证，只需证OM=ON O . P B E D F O A C . 如图，如图，P点在圆上，点在圆上，PB=PD吗？吗？ P点在圆内，点在圆内，AB=CD吗？吗？ 思考：思考： P B E M N D F O M N 猜猜想：想： ?,BOAAOB.2 情况又如何若 图 2 也就是在也就是在 图图2 中研究不同的圆中研究不同的圆 心角心角、，以及它们，以及它们 所对的弧所对的弧, 弦弦, 弦的弦心距弦的弦心距 OM、之间的关之间的关 系。系。 B BO OA A B BA AABAB、 AOBAOB MMO O B BA AABAB、 .MOOM,BAAB BAAB,BOAAOB1. = = = = = = = =，则若 ? ? .