读万卷书 行万里路 1 温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看 比例, 关闭 Word 文档返回原板块。 考点 31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、 空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1.(2019全国卷理科T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为 2 的正三角形,E,F分 别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为 ( ) A.86 B.46 C.26 D.6 【解析】方法一:选 D.设PA=PB=PC=2x,E,F分别为PA,AB的中点, 所以EFPB,且EF=1 2PB=x, 因为ABC是边长为 2 的等边三角形, 所以CF=3,又CEF=90,所以CE=3-2, 读万卷书 行万里路 2 AE=1 2PA=x, 在AEC中,利用余弦定理得 cosEAC= 2+4-(3-2) 22 ,作PDAC于D,因为PA=PC, 所以D为AC中点,cosEAC= = 1 2, 所以 2+4-3+2 4 = 1 2, 所以 2x2+1=2,所以x2=1 2,x= 2 2 ,所以PA=PB=PC=2, 又AB=BC=AC=2,所以PA,PB,PC两两垂直, 所以 2R=2 + 2 + 2=6,所以R= 6 2 , 所以V=4 3R 3=4 3 66 8 =6,故选 D. 方法二:选 D.因为PA=PB=PC,ABC是边长为 2 的等边三角形,所以P-ABC为正三棱锥, 易得PBAC,又E,F分别为PA,AB的中点, 所以EFPB,所以EFAC,又EFCE,CEAC=C, 所以EF平面PAC,PB平面PAC,所以BPA=90, 所以PA=PB=PC=2, 所以P-ABC为正方体一部分,2R=2 + 2 + 2=6,即R= 6 2 , 所以V=4 3R 3=4 3 66 8 =6,故选 D. 读万卷书 行万里路 3 【题后反思】本题考查学生空间想象能力,补形法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到 侧棱长,进而补形成正方体解决. 2.(2019浙江高考T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以 得到柱体体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 ( ) A.158 B.162 C.182 D.32 【命题意图】本题主要考查由几何体的三视图求原几何体的体积. 【解析】选 B.由三视图可知,俯视图可以补充为完整的正方形,边长为 6,所以底面五边形的面积为S=62-1 223- 1 243=27, 所以V=Sh=276=162. 二、填空题 读万卷书 行万里路 4 3.(2019全国卷理科T16 同 2019全国卷文科T16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的 正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体 的表面上,且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 . 【命题意图】考查空间几何体的结构特征、空间想象以及数学运算能力. 【解析】 上下各一个面,中间三层每层 8 个面,共 26 个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:, 则有 8=360,解得=45,即设棱长为x,可得 2( 2 2 )+x=1,解得x=2-1. 答案:26 2-1 4.(2019全国卷理科T16 同 2019全国卷文科T16)学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方 体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g. 【解析】S四边形EFGH=46-41 223=12(cm 2), V=664-1 3123=132(cm 3). 读万卷书 行万里路 5 m=V=0.9132=118.8(g). 答案:118.8 5.(2019北京高考理科T11 同 2019北京高考文科T12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如 果网格纸上小正方形的边长为 1,那么该几何体的体积为 . 【命题意图】本题考查几何体的三视图,以及求体积,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易. 【解析】由三视图可知,正方体体积V1=43=64,四棱柱体积V2=(2+4)2 2 4=24, 所以该几何体体积V=V1-V2=40. 答案:40 【方法总结】三视图还原几何体 柱 (两个以上 平行四边 形) 锥 (两个以 上 三角形) 台 (有梯形) 读万卷书 行万里路 6 多面体 (无圆弧) 棱柱 棱锥 棱台 旋转体 (有圆弧) 圆柱 圆锥 圆台 球 组合体 (一般分为上 下 或左右两部 分) 6.(2019天津高考理科T11 同 2019天津高考文科T12)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 . 【解题指南】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径. 【解析】四棱锥的高为5-1=2, 故圆柱的高为 1,圆柱的底面半径为1 2, 故其体积为 (1 2) 2 1= 4. 答案: 4 【方法技巧】 求几何体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些 特殊方法分割法、补形法、等体积法.割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体 进行解决.等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得 读万卷书 行万里路 7 到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作 图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 7. (2019江苏高考T9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是 120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是 . 【命题意图】主要考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得. 【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为1 3S BDC1 2c= 1 3 1 2ab 1 2c= 1 12abc=10. 答案:10 【题后反思】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关 系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.