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巧用圆系方程 简化解题过程四川省眉山中学校 谢维勇在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种:以 为圆心的同心圆系方程过直线 与圆 的交点的圆系方程过两圆 和圆 的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆 ,直接应用该圆系方程,必须检验圆 是否满足题意,谨防漏解。当 时,得到两圆公共弦所在直线方程为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 ,可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程在遇到过直线与圆,圆与圆交点的圆有关问题时,灵活选取上述各种圆系方程,可简化繁杂的解题过程。现不妨举两例简要说明。例 1:已知圆 与直线 相交于 两点,为坐标原点,若 ,求实数 的值。分析:此题最易想到设出 ,由 得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ,不难得出在以 为直径的圆上。而 刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。解:过直线 与圆 的交点的圆系方程为:,即.依题意, 在以 为直径的圆上,则圆心( )显然在直线上,则 ,解之可得又 满足方程,则故例 2:求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。分析:本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解:圆 和 的公共弦方程为,即过直线 与圆 的交点的圆系方程为,即依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心 必在公共弦所在直线 上。即,则代回圆系方程得所求圆方程总之,在求解过直线与圆,圆与圆交点的圆有关问题时,若能巧妙使用圆系方程,往往能优化解题过程,减少运算量,收到事半功倍的效果。
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