1 第一章第一章 证明（二）证明（二） 相关索引相关索引 1.你能证明它们吗 2. 直角三角形 3.线段的垂直平分线 4.角的平分线 本章概述本章概述 本单元的主要内容是等腰三角形、 等边三角形和直角三角形的性质及判定定理的证明与 应用以及线段的垂直平分线、角的平分线，本单元难点知识是在等腰三角形、等边三角形及 直角三角形的相关性质的证明过程中的辅助线的正确添加； 在相关知识情境中各个定理的准 确应用以及有条理的书写解答过程，要突破学习难点，最重要的是在学习过程中善于观察、 思考利用从一般到特殊的学习方法掌握研究知识. 1. .1 你能证明它们吗你能证明它们吗 课前我课前我预习预习 我的预习重点我的预习重点 1.掌握课本提供的公理并能用相关公理和定理进行证明 2.熟悉等腰三角形和等边三角形的相关性质 3.会用判定定理对等腰三角形和等边三角形进行 4.了解什么是反证法并会用反证法证明一下简单问题 预习效果检测预习效果检测 1. 在ABC中，AB=AC. 若A=50 ，则B= ，C= ； 若B=45 ，则A= ，C= ； 若C=60 ，则A= ，B= . 2. 等腰三角形的周长是 24 cm，一边长是 6 cm，则其他两边的长分别是 . 3. 等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是6 cm，则它的周长是 ( ) A.26 cm B.22 cm C.16 cm D.22 cm或26 cm 4. 已知：如图 1-1-1，ABC 中，AB=AC，AD 是外角CAE 的平分线.则 AD BC. 5. 已知：如图1-1-2，ABC是等边三角形，ADBC，CDAD，则ACD= . 预习效果检测预习效果检测答案答案 1.40 40 ；90 45 ；60 60 2.9 cm；9 cm 3.D 4. ADBC 5.60 图 1-1-1 D C B A 图 1-1-2 2 知识一点通知识一点通 知识点知识点 1. .等腰三角形的性质等腰三角形的性质 (重要指数) 1.在等腰三角形中，相等的边对着相等的角.(等边对等角) 2.等腰三角形顶角的平分线底边上中线和底边上的高线互相重合.(三线合一) 针对性例题针对性例题 1 等腰三角形的一边为 4，另一边为 9，则这个三角形的周长为（ ） A.17 B.22 C.13 D.17 或 22 【分析】 ：条件中已知等腰三角形的两条边，但是不能确定那条边是腰，那条边是底边， 所以要对条件进行讨论. 【解】 ：当底边是 4 时,等腰三角形的三边长分别为 4、9、9 周长即为 22. 当底边是 9 时，等腰三角形的三边长分别为 4、4、9，此时不能够成三角形.所以应该 选择 B. 变式训练变式训练 1. 已知等腰三角形的两边长分别为 3cm、6cm，则该等腰三角形的周长为 cm. 2. 如果等腰三角形的一个底角是 80 ，那么顶角是 度. 3. BD 为ABC 的角平分线，AB=AC，BDC=75 ，则A 为( ) A.40 B.50 C.70 D.80 知识点知识点 2. .等腰三角形的判定等腰三角形的判定 (重要指数) 1.有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边） 温馨提醒温馨提醒 （1）等边对等角是等腰三角形的性质；注意在等腰三角形中求有关角度的应用； （2）三线合一；知道顶角的平分线、底边上中线、底边上的高线中的一条便可推出 其他结论也成立，不用一一推理证明；如图 1-1-3 中若 AD 是顶角的平分线，则 AD 同时 也是底边上的中线和高线，即 BD=CD，ADBC. 也就是说知道顶角的平分线、底边上中线、底边上的高线三者中的一个成立便可知 道其余两个也成立. 图 1-1-3 绿色通道绿色通道 解决等腰三角形相关问题时，要注意考虑等腰三角形的特殊性，特别要注意在已 知条件不确定的情况下，注意分类讨论. 3 2.理解反证法. 针对性例题针对性例题 2 已知：如图 1-1-4 所示，ADBC，BD 平分ABC求证：ABAD 【分析】 ：要证明 ABAD 成立，依据等角对等边，可以通过证 明ABD=ADB实现， 根据条件BD平分ABC， 得出ABD=DBC. 再依据平行线的性质可得出ABD=ADB. 【证明】 ：BD 平分ABC， ABD=DBC.（角平分线定义） ADBC ADB=DBC（平行线的性质） ABD=ADB（等量代换） ABAD（等角对等边） 变式训练变式训练 4. 如图 1-1-5，已知 AD 是ABC 的外角平分线，且 ADBC， 则1_B， 2_C， ABC 是_三角 形 5. 求证：等腰三角形的底角必为锐角 已知：ABC 中，ABAC 求证：B、C 必为锐角 知识点知识点 3. .等边三角形的判定等边三角形的判定 (重要指数) 1.有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形. 2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于 30 ，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一 半. 温馨提醒温馨提醒 （1） 判定一个三角形是否是一个等腰三角形除了定义外， 可依据等角对等边来判定； （2）等角对等边指的是在同一个三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边也相 等； （3）反证法的思路是先假设结论不成立，经过推理论证得出矛盾，从而证明原命题 成立. 温馨提醒温馨提醒 （1）等边三角形的判定要具备两个条件，前提是这个三角形是等腰三角形，再就是 有一个 60 的角； （2）在直角三角形中存在一个锐角等于 30 ，则这个锐角所对的直角边等于斜边的 一半，要注意是 30 角所对的直角边，要找好对应关系. 图 1-1-4 图 1-1-5 绿色通道绿色通道 等腰三角形的判定“等角对等边”的应用必须是在同一个三角形中，这一条件不 要忽视，如果要证明的两条线段不在同一个三角形中要考虑三角形的全等. 4 针对性例题针对性例题 3 如图 1-1-6，已知ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，垂足为 D，E 为 AC 的中 点. 求证：ADE 是等边三角形 【分析】 ：要证明ADE 是等边三角形，可以先证明ADE 是等腰三角形，再证明ADE 中有一个角是 60 即可. 【证明】 ：CDAD. ADC 是一个直角三角形， 又E 为 AC 的中点 AE=EC ACDE 2 1 = DE=AE ADE 是等腰三角形, 又ADBC ACB=CAD=60 ADE 是等边三角形. 变式训练变式训练 6. 如图 1-1-7，RtABC 中，A=30,AB+BC=12 cm，则 AB=_cm 7. 在 RtABC 中，C=90，B=30，b=10，则 c=_ 典例助成功典例助成功 综合技能题综合技能题 例题例题 1 如图 1-1-8，在ABC 中，AB=AC，BDAC， CEAB，O 是 BD 与 CE 的交点，求证：BO=CO 【分析】 ：证明 BO=CO 可通过证明OCB=OBC.依 据等腰三角形的性质易得ABC=ACB,这样只要证明 ABD=ACE 即可，而证明ABD=ACE 可借助于ABD ACE 【证明】 ： BDAC，CEAB ADB=ACE=90（垂直的定义） 在ABD和ACE 中 图 1-1-7 图 1-1-6 图 1-1-8 图 1-1-9 绿色通道绿色通道 等边三角形的判定要注意先判断三角形是等腰三角形，再找出此三角形中的一个 角是 60角，注意角的转化和转移. 5 ADB=ACE=90， （已证） A=A（公共角） AB=AC（已知） ABDACE（AAS） ABD=ACE(全等三角形的性质) 又在ABC 中，AB=AC ABC=ACB OCB=OBC(等式的性质) BO=CO（等边对等角） 例题例题 2 如图 1-1-9 在等边三角形ABC的边BC上任取一点D， 以CD为边向外作等边三 角形CDE，联结BEAD、，证明ADBE =. 【分析】 ：要证明ADBE =，因为这两条线段不在同一个三角形中，可排除用等角对等 边来证明，但可通过证明两个三角形ADC与BEC全等来实现. 【证明】 ： ABC是等边三角形（已知） ， BCAC=，ACD=60 （等边三角形的性质）. 同理：CECD=，=60BCE. BCEACD=（等量代换）. 在ADC与BEC中， = = = , , , CECD BCEACD BCAC )(SASBECADC. BEAD =（全等三角形的对应角相等）. 例题例题 3 如图 1-1-10，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 等于（ ）. A30 B40 C45 D36 【分析】 ：本题是已知相等的边求一个角的度数，可根据等腰三角形的性质等边对等角 以及三角形的内角和来求解. 【解】 ： BDAD A=ABD BDBC C=BDC 又BDC=ABD+A=2A C=ABD+A=2A 又ABAC ABC=ACB=2A 在ABC 中，A+ABC+ACB=180 即A+2A+2A=180 故A=36 ，应选择 D. 实践应用题实践应用题 例题例题 4 已知，如图 1-1-11，O 是ABC 的ABC、ACB的角平 图 1-1-10 图 1-1-11 6 分线的交点，ODAB 交 BC 于 D，OEAC 交 BC 于 E，若 BC = 10 cm，求ODE 的周长. 【分析】 ：本题重在考查等腰三角形的判定以及平行线角平分线知识综合性较强， ODE 的周长可以转化为 BC 的长度，通过证明得出OBD=BOD.易得 OD=BD；同理得出 EC=OE. 【解】 ：O 是ABC 的ABC、ACB的角平分线的交点 OBD=ABO. 又ODAB BOD =ABO OBD=BOD，得 OD=BD 同理可证：EC=OE BD+ DE+EC=10cm OD+ OE+DE=10cm 即ODE 的周长是 10cm. 例题例题 5 已知，如图 1-1-12，在ABC 中，OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，过 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E，若 BD+CE5，则线段 DE 的 长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】 ：本题意在考察等角对等边、平行线的性质和角平分线 的定义，要综合运用以上知识才能解决此问题. 【解】 ： OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB ABO=OBC，ACO=OCB. DEBC， BOD=OBC，COE=OCB. ABO=BOD，ACO=COE. OD=BD，EC=OE. BD+CE5，OD+OE=DE. DE=5，因此本题选 A. 创新探究题创新探究题 例题 6 如图 1-1-12， 点 C 为线段 AB 上一点， ACM， CBN 是等边三角形，直线 AN，MC 交于点 F， (1)求证：AN=BM； (2)求证： CEF 为等边三角形； 【分析】 ：本题是证明两条线段相等，可借助于证明两个 三角形全等来解决；在第二问中可先证明CEF 是等腰三角形，再证明此三角形中有一个 角等于 60 即可. 【证明】 ： （1）ACM，CBN 是等边三角形， AC=CM；CB=CN；ACM=CBN=60 . MCN=60 . 图 1-1-12 图 1-1-12 7 ACM+MCN =CBN+MCN=120 . 即：ACN =CBM. 在CAN 和MCB 中 AC=CM， CB=CN， ACN =CBM， CANMCB. AN=BM. （2）CANMCB， ANC=CBM. MCN=CBN =60 . CB=CN. CEN=CFB. CE=CF. 又