第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布,第一节 随机变量的分布函数,一、随机变量,定义：设E的样本空间为W，对于每一个样本点w W，都有唯一实数X(w)与之对应,且对于任意实数x，事件 w| X(w) x 都有确定的概率，则称X(w) 为随机变量，简记为X.,摸彩赌博,二、分布函数,定义：设X是一个随机变量, x是任意实数,称函数 F( x ) = P X x = P w: X(w) x 为随机变量X 的分布函数， F( x ) 也记为FX( x ) .,注:（1）分布函数F( x )的函数值表示事件“随机点X落在(, x 内”的概率.,X,（2） F( x )的改变量 DF = F( x +Dx) - F( x ) = Px X x +Dx 是事件“随机点X落在(x , x +Dx 内”概率.,X,摸彩试验,例如,射击试验,仪器寿命问题,随机变量的好处： (1)将样本空间数值化、变量化(但不同于通常变量)， (2)可以完整地描述随机试验, (3)可以借用其它高数工具来解决随机问题.,分布函数的性质:,（1） F( x ) 为单调不降函数， 即若 x1 x2 ，则有F( x1 ) F( x2 ) .,（3） F( x ) 是右连续函数， 即F( x +0 ) = F( x ) .,分布函数的性质可以 用来确定某一函数是否为一个随机变量的分布函数，还可以用来求解分布函数.,分布函数的确定,例如,例1 一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋子。规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从 一个袋中摸出五个棋子,按下面“摸子中彩表”给“彩金”。,解：用“i ”表示摸出的五个棋子中有 i 个白子，则试验的样本空间为 W = 0，1，2，3，4，5,用Y (单位:元)表示赌徒摸一次得到的彩金，则有,Y ( i ) = 0，i = 0，1，2 Y ( 3 ) = 0.5， Y ( 4 ) =1，Y ( 5 ) = 2,Y是定义在W上的随机变量，对于每一个 i ，都有一个实数与之对应。,并且,对于任意实数x，Y(w) x 实际表示一个随机事件，从而有确定的概率。,例如,总结：从本例中可看到，随机变量Y完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论。进一步，我们可以把高等数学工具用在对随机试验的分析。,例2.一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码X 的分布函数。,解：由题意有,当x -1时,F(x) = P Xx = P(f ) = 0。,X,当-1 x 2时,F(x) = PXx = PX = - 1 = 1/6 。,X,当2 x 3时,F(x) = P Xx = PX = - 1 + PX = 2 =2/3 。,X,当3 x 时,F(x) = PXx = P W = 1 。,X,综上所述,可得,这是一个右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点处的阶跃值恰为PX=k, k=-1,2,3。,例3.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心 圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用 X 表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布函数。,解：由题意有,当x 0时, F(x) = P Xx = P( f ) = 0。,当x 2时, F(x) = P Xx = P( W ) = 1。,当0 x 2时, 由题意知 P 0 Xx = k x2 其中k为一常数。,X,由题意可得 1 = P 0 X 2 = 4 k k = 。,例4.使用了t 小时的电子管在以后的Dt 小时内损坏的概率等于lDt + o(Dt ),其中l 0 为一常数,试写出电子管的寿命T 的分布函数。,解：由题意 当t 0 时, F(t) = P T t = 0。,当t 0 时, 设Dt 0，由题设条件有 P T t + Dt |T t = lDt + o(Dt ),F( t + Dt ) = PT t + Dt = PT t + Pt T t + Dt ,从而有 DF = F( t + Dt ) - F( t ) = Pt T t + Dt ,又因为 t t T t + Dt ,DF = PT t PT t + Dt | T t =1 - F(t )lDt + o(Dt ),解：,求a,b,c,d,