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数 学 建 模,主讲教师:邵红梅,第八章 离散模型,层次分析模型,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用,各因素的重要性难以量化,Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,层次分析模型,层次分析模型,选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,层次分析模型,思维过程,将决策问题分解为3个层次,最上层为目标层,即选择旅游地,最下层为方案层,有P1,P2,P33个供选择地点,中间层为准则层,有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则,各层间的联系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重。这些权重在人的思维过程中通常是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。,将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合,最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。,层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤,给出决策结果。,层次分析模型,层次分析法的基本步骤,成对比较矩阵和权向量,不把所有因素放在一起比较,而是两两相互对比,对比时采用相对尺度,以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高准确度。,人们凭自己的经验和知识进行判断, 当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的, 如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受。,假设要比较某一层n个因素C1,C2,Cn对上层一个因素O的影响,如旅游决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地目标中的重要性。,每次取两个因素Ci和Cj,用aij表示Ci和Cj对O的影响之比,全部比较结果可用成对比较矩阵 。,正互反矩阵,层次分析模型,比较尺度,Saaty等人提出用1 9尺度,即aij的取值范围是1,2,9及其互反数1,12,19。,在进行定性的成对比较时,人们头脑中通常有5种明显的等级,用1 9尺度可以方便地表示如下:,心理学家认为,进行成对比较的因素太多,将超出人的判断能力,最多大致在72范围。如以9个为限,用19尺度表示它们之间的差别正合适。,Saaty曾用13,15,117,(d + 0.1) (d + 0.9) (d = 1,2,3 ,4 ),1p 9p ( p = 2,3,4,5)等共27种比较尺度,对在不同实例构造成对比较阵,并算出权向量。与实际对比发现,19尺度不仅在较简单的尺度中最好,而且结果并不劣于较复杂的尺度。,aij =1,1/2,1/9:Ci与Cj的影响之比为上面aij的互反数,层次分析模型,怎样由成对比较阵确定诸因素C1 ,Cn对上层因素O的权重呢?,C1与C2之比为1:2,C1与C3之比为4:1,C2与C3之比应为8:1,不一致,允许不一致,但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,设想把一块单位重量的大石头O砸成n块小石头C1 ,Cn,如果精确地称出它们的重量为w1 ,wn,在作成对比较时令aij = wi / wj,权重用向量w = (w1 ,w2,wn)T 表示,A的各个列向量与w仅相差一个比例因子,层次分析模型,aij = wi / wj,ajk = wj / wk,aij ajk=(wi / wj) (wj / wk)= wi / wk= aik,如果一个正互反阵A满足aij ajk = aik , i,j,k = 1,2,n则A称为一致性矩阵,简称一致阵。,一致阵,n阶一致阵A有下列性质,A的秩为1,A的惟一非零特征根为n,A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,表示诸因素C1 ,Cn对上层因素O的权重,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A,建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ,即A w = A ,因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij, 所以当aij离一致性的要求不远时, A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。,由成对比较阵求权向量的特征根法,层次分析模型,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,n阶一致阵A的惟一非零特征根为n,n 阶正互反阵A的最大特征根n,而当= n时A是一致阵,稍后将加以证明,连续地依赖于aij,比n大得越多,A的不一致程度越严重,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。,可以用 n数值的大小来衡量A的不一致程度,定义,为一致性指标,CI = 0时A为一致阵;CI越大A的不一致程度越严重。,A的n个特征根之和等于n,所以CI相当于除外其余n1个特征根的平均值。,A的n个特征根之和等于A的迹,层次分析模型,为了确定A的不一致程度的容许范围,需找出衡量A的一致性指标CI的标准。,引入随机一致性指标RI,随机地构造正互反阵A (它的元素aij ( i j )从19,11/9中随机取值),计算A的一致性指标CI,A是非常不一致的,它的CI相当大。如此构造相当多的A,用它们的CI的平均值作为随机一致性指标,表中n = 1,2时RI = 0,是因为1,2阶的正互反阵总是一致阵。,对于n3的成对比较阵A,将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。,A的不一致程度在容许范围之内,可用其特征向量作为权向量:通过一致性检验,0.1的选取是带有一定主观信度的,层次分析模型,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,当检验不通过时, 要重新进行成对比较, 或对已有的A进行修正。,层次分析模型,组合权向量,记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为w(2) = (w1(2) ,w2(2),wn(2)T,用同样的方法构造第3层(方案层)对第2层的每一个准则的成对比较阵,这里矩阵Bk ( k = l,5)中的元素bij(k)是方案(旅游地)Pi与Pj对于准则Ck(景色、费用等)的优越性的比较尺度。,层次分析模型,n = 3时随机一致性指标RI = 0.58,所以面的CI k均可通过一致性检验。,W(2) =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,由各准则对目标的权向量w(2)和各方案对每一准则的权向量wk(3)(k = 1,5), 计算各方案对目标的权向量,称为组合权向量,记作w(3)。 对于方案P1,它在景色等5个准则中的权重用wk(3)的第1个分量表示(表中wk(3)的第1行), 而5个准则对于目标的权重又用权向量w(2)表示, 所以方案P1在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和。,方案P1对目标的组合权重,0.5950.263+0.0820.475+0.4290.055+0.6330.099+0.1660.110 = 0.300,同样可以算出P2,P3在目标中的组合权重为0.246和0.456,于是组合权向量w(3) = (0.300,0.246,0.456)T。,层次分析模型,对于3个层次的决策问题,若第1层只有1个因素,第2、3层分别有n,m个因素,记第2,3层对第1,2层的权向量分别为,w(2) = (w1(2),wn(2)T wk(3) = (wk1(3),wkm(3)T ,k = 1,2,n,以wk(3)为列向量构成矩阵,W(3) = w1(3),wn(3) ,第3层对第1层的组合权向量为,w(3) = W(3) w(2),若共有s层,则第k层对第1层(设只有1个因素)的组合权向量满足,w(k) = W(k) w(k1) ,k = 3,4,s,其中W(k)是以第k层对第k 1层的权向量为列向量组成的矩阵。,最下层(第s层)对最上层的组合权向量为w(s) = W(s) W(s-1) W(3) w(2),层次分析模型,组合一致性检验,在重大决策时,除了对每个成对比较阵进行一致性检验外,还常要进行组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。,组合一致性检验可逐层进行,若第p层的一致性指标为CI1(p),CIn(p)(n是第p 1层因素的数目),随机一致性指标为PI1(p),PIn(p),定义,CI(p) = CI1(p),CIn(p)w(p-1) ,RI(p) = RI1(p),RIn(p)w(p-1),第p层的组合一致性比率为,第p层通过组合一致性检验的条件为CR(p) 0.1,定义最下层(第s层)对第1层的组合一致性比率为,仅当CR*适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。,旅游决策问题中可以算出CI(3) = 0.00176,RI(3) = 0.58CR(3) = 0.003。 前面已经有CR(2) = 0.016,于是CR*= 0.019,组合一致性检验通过, 前面得到的组合权向量w(3)可以作为最终决策的依据。,层次分析模型,层次分析法的基本步骤,建立层次结构模型,构造成对比较阵,计算权向量并做一致性检验,计算组合权向量并做组合一致性检验,深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标准则或指标方案或对象),上层受下层影响,而层内各因素基本上相对独立。,用成对比较法和19尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量,作一致性检验,若通过,则特征向量为权向量。,组合权向量可作为决策的定量依据。,层次分析模型,层次分析法的广泛应用,应用领域:经济计划和管理,能源政策和分配,人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选题,产业结构,教育,医疗,环境,军事等。,处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据,应由经验丰富、判断力强的专家给出。,层次分析模型,层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数?特征向量是否为正向量?一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度?,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量?,为什么用特征向量作为权向量?,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法?,层次分析模型,正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质,正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量?,一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度?,定理1 对于正矩阵A(A的所有元素为正数),,A的最大特征根是正单根;,A对应正特征向量w(w的所有分量为正数);,其中e=(1,1,1)T, w是对应的归一化特征向量。,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根n;当 = n时A是一致阵。,n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为,A的最大特征根 = n。,和法取列向量的算术平均,层次分析模型,正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法,成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果,对它作精确计算是不必要的,所以完全可以用简便的近似方法计算其特征根和特征向量。,将A的每一列向量归一化得,对,按行求和得,将,归一化,w = (w1,w2,,wn)T即为近似特征向量;,计算,作为最大特征根的近似值。,这个方法实际上是将A的列向量归一化后取平均值,作为A的特征向量。,层次分析模型,幂法迭代算法,任取n维归一化初始向量w(0),计算,归一化,即令,对于预先给定的精度,当,时,w(k+1)即为所求的特征向量;否则返回b;,计算最大特征根,层次分析模型,精确计算给出w = (0.588,0.322,0.090)T, = 3.010。二者相比,相差甚微。,列向量 归一化,按行求和,归一化,以和法计算一个例子,层次分析模型,为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量,当成对比较阵A是一致阵时,aij与权向量w = (w1,wn
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