第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第一节 微分中值定理,本节主要内容:,一、罗尔中值定理,定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点),引理的直观意义: 可导函数极值点处的切线平行于 x 轴.,定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间a,b上有定义，如果 （1）函数 f (x)在闭区间a，b上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即 f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a b，使得f ()=0 .,例如,定理的证明,罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处的切线平行于x 轴(如下图）。,1.罗尔定理中的是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；,2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：,两点说明：,例,例,例1 验证罗尔中值定理对函数 f(x)=x3+4x2-7x-10 在区间-1,2上的正确性，并求出,解得,令f (x)=3x2+8x-7=0,（1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间-1,2上连续；,（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；,（3）f (-1)=f (2)= 0；,所以 f(x)满足定理的三个条件.,解,例2 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根,存在性：令 f(x)= x5-5x+1，则f(x)在0,1上连续,f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一点x0(0,1),使f (x0)=0 ， x0即为方程的小于1的正实根.,唯一性：设另有x1(0,1), x1 x0,使f (x1)=0,因为f(x)在x1 ，x0之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点 (在x1 ，x0之间),使得f ()=0,但f (x)=5x4-50 , x(0,1),矛盾,所以为唯一实根.,证明,例3 不求函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程 f (x)=0有几个实根,函数f(x)在R上可导,所以在区间1,2,2,3上满足罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有一实根；,又 f (x)=0是二次方程,至多有二个实根；,所以方程f (x)=0 有且仅有两个实根,它们分别落在区间（1,2) （2,3)内,解,定理3.1.2 （拉格朗日中值定理） 设函数 y=f(x)满足 （1）在闭区间a，b上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； 那么在(a，b)内至少存在一点 (a b) ，使得 f (b)- f (a)= f ()(b-a)或,二、拉格朗日中值定理,注意到, Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。,证明思想,构造辅助函数法,由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可用，因此想若能构造一个辅助函数 (x) ,使其满足Rolle定理的条件，同时想办法接近要证明的结论.,则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件(1)(2) 又,作辅助函数,所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点 ,使,即 f (a)- f (b)= f ()(b-a),定理的证明,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；,2.当f (a)=f (b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值 定理；,3.设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x(a,b) 则有,几点说明：,拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得该点的切线平行于曲线两端点 ( a, f(a) )与 ( b, f(b) )的连线，其斜率为,推论1 设 y=f (x) 在 a, b 上连续，若在(a, b)内的导数恒为零，则在a, b上 f (x) 为常数.,推论2 如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f (x)=g(x) ，则这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C ,设f (x)=arcsinx+arccosx,由推论1知 f (x)=C,所以,例4 证明：,又因为,即,证明,则f (x)在0,1上连续，又,设f (x)=ln(1+x),则f (x)在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，即,由于,因为0x，所以,例5 证明：当x0时，,所以上式变为,即,证明,定理3.1.3 （柯西中值定理） 设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在一点 (a,b)，使得,注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时的一种特例。,三、柯西中值定理,分析:,问题转化为证,构造辅助函数,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,弦的斜率,切线斜率,几何意义：,注意：,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 设辅助函数,费马引理,内容小结,