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2020/12/19,电子工程学院,1,第3章,函数的数值逼近,2020/12/19,电子工程学院,2,问题的提出,函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值,问题1:根据实验观测数据,即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。,问题2:求出函数,使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。,插值问题,曲线拟合问题,2020/12/19,电子工程学院,3,函数解析式未知,或计算复杂,用函数p(x)去近似代替它,使得 p(xi)= yi (i=0,1,2,n) 函数p(xi)称为插值函数。 x0,x1, xn称为插值节点或简称节点。 插值节点所界的区间称为插值区间。 p(xi)= yi 称为插值条件。,插值问题:,2020/12/19,电子工程学院,4,构造n次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+ anxn 使满足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,n), 讨论的主要内容: 如何求出插值函数; 插值函数的存在性; 收敛性和误差估计。,3.1 多项式的插值问题,2020/12/19,电子工程学院,5,P1(x)= a0 + a1x,例:,2020/12/19,电子工程学院,6,P1(x)= a0 + a1x + a2x2,例:,2020/12/19,电子工程学院,7,拉格朗日插值,插值多项式的存在唯一性:,2020/12/19,电子工程学院,8,判断系数矩阵的奇异性,Vandermonde矩阵,2020/12/19,电子工程学院,9,结论:,通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。,2020/12/19,电子工程学院,10,例:一次和二次插值,一次插值:,2020/12/19,电子工程学院,11,由直线的点斜式公式可知:,a0,a1,问题?,2020/12/19,电子工程学院,12,直线公式:,基函数,2020/12/19,电子工程学院,13,一次插值基函数,基函数的特性,2020/12/19,电子工程学院,14,例:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用一次多项式插值计算 lg12的近似值。,解:f(X)=lg(x),f(10)=1,f(20)=1.3010 设,2020/12/19,电子工程学院,15,2020/12/19,电子工程学院,16,二次插值,2020/12/19,电子工程学院,17,二次插值的基函数:,构造三个插值基函数,使其满足: (1) 基函数为二次多项式。 (2) 函数值满足:,2020/12/19,电子工程学院,18,由插值基函数的要求:,2020/12/19,电子工程学院,19,插值公式,2020/12/19,电子工程学院,20,例:已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用二次多项式插值计算 lg12的近似值。,解:f(X)=lg(x),f(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010 设,2020/12/19,电子工程学院,21,2020/12/19,电子工程学院,22,拉格朗日插值多项式的一般形式,问题的提出:,已知函数y=f(x)在n +1个不同的点x0,x1,xn 上的函数值y0,y1,yn,求一个次数不超过n的多项式Pn(x),使: Pn(xi)=yi (i=0,1,n),2020/12/19,电子工程学院,23,插值基函数,2020/12/19,电子工程学院,24,插值公式:,2020/12/19,电子工程学院,25,2020/12/19,电子工程学院,26,3.2 插值的误差分析,定理:,2020/12/19,电子工程学院,27,证明 (略),2020/12/19,电子工程学院,28,线性插值和二次插值的截断误差为:,2020/12/19,电子工程学院,29,思考:,是否插值的节点越多,多项式插值越精确?,是否多项式的阶数越高,多项式插值越精确?,2020/12/19,电子工程学院,30,演示:多项式插值的Runge现象,2020/12/19,电子工程学院,31,过程:,2020/12/19,电子工程学院,32,%lagrangen.m function y=lagrangen(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y;,Lagrange插值多项式 求插值的Matlab程序.,2020/12/19,电子工程学院,33,%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2); plot(x,z,k,x,y,r) axis(-5 5 -1.5 2);pause,hold on for n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pause end y2=1./(1+x0.2);y=interp1(x0,y2,x); plot (x,y,k),hold off gtext(n=2),gtext(n=4),gtext(n=6) gtext(n=8),gtext(n=10) gtext(f(x)=1/(1+x2),比较不同的插值多项式次数对插值的影响,2020/12/19,电子工程学院,34,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,2020/12/19,电子工程学院,35,x=-5:5;y=1./(1+x.2); t=-5:.05:5;y0=1./(1+t.2); p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,t); plot(t,y0,x,y,o,t,y1,.),Range现象演示(利用matlab函数),2020/12/19,电子工程学院,36,高阶多项式插值不好!,怎样获得高精度的插值方法?,2020/12/19,电子工程学院,37,3. 3 分段低次插值,2020/12/19,电子工程学院,38,随着插值结点数增加,插值多项式的次数也相应增加,而对于高次插值容易带来剧烈振荡,带来数值不稳定。为了既要增加插值结点,减小插值区间,以便更好的逼近被插值函数,又要不增加插值多项式的次数以减少误差,我们可以采用分段插值的办法。,2020/12/19,电子工程学院,39,分段线性插值,2020/12/19,电子工程学院,40,分段插值,2020/12/19,电子工程学院,41,由定义可知:Ih(x)在每个小区间xk,xk+1可表示为:,2020/12/19,电子工程学院,42,收敛性:,证明:,2020/12/19,电子工程学院,43,2020/12/19,电子工程学院,44,在不少实际问题中,对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求它的导数值也相等。,埃尔米特插值,2020/12/19,电子工程学院,45,求解的思路:,这里给出了2 n +2 个条件,可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x). 其形式为 根据上面的条件来确定 2n +2 个系数,显然非常复杂,因此,我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。,2020/12/19,电子工程学院,46,求解的思路:,2020/12/19,电子工程学院,47,确定基函数:,利用拉格朗日插值基函数。,2020/12/19,电子工程学院,48,确定基函数:,2020/12/19,电子工程学院,49,确定基函数:,2020/12/19,电子工程学院,50,确定基函数:,2020/12/19,电子工程学院,51,Hermite插值的唯一性:,反证法:,2020/12/19,电子工程学院,52,Hermite插值的余项,2020/12/19,电子工程学院,53,例:,按下表求Hermite插值多项式,2020/12/19,电子工程学院,54,分段Hermite插值:,分段线性插值函数的导数是间断的,若在节点上除已知函数值 f k外还给出导数值f k=mk,,这样就可构造一个导数连续的分段插值函数。,2020/12/19,电子工程学院,55,2020/12/19,电子工程学院,56,3.4 三次样条插值,问题的提出:,上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性,但光滑性较差,对于像高速飞机的机翼形线,船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度,即有二阶连续导数,早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上,在其他地方让它自由弯曲,然后画下长条的曲线,称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成,在连接点即样点上要求二阶导数连续,从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。,2020/12/19,电子工程学院,57,数学定义:,2020/12/19,电子工程学院,58,讨论:,由定义,要求出S(x), 在每个小区间,需要确定4个系数,共需要确定4n个系数。,2020/12/19,电子工程学院,59,讨论:,2020/12/19,电子工程学院,60,从理论上,还需要2个方程。 通常,可以在a,b的两个端点附加条件。(边界条件),2020/12/19,电子工程学院,61,三次样条函数的计算:,(1) 利用分段三次Hermiter插值(三对角方程)。,2020/12/19,电子工程学院,62,三次样条函数的计算:,(2) 利用二阶导数值计算(三弯矩方程),2020/12/19,电子工程学院,63,积分两次得到:,2020/12/19,电子工程学院,64,2020/12/19,电子工程学院,65,一维插值: yi = interp1(x, y, xi, method ),2020/12/19,电子工程学院,66,二维插值 zi=interp2(x, y, z, xi, yi, method),三维插值 vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi, method),2020/12/19,电子工程学院,67,插值方法的比较:,x=-5:2:5;y=1./(1+x.*x);xi=-5:0.2:5; Yi(:,1)=1./(1+xi.*xi); Yi(:,2)=interp1(x,y,xi); Yi(:,3)=interp1(x,y,xi, spline); Yi(:,4)=interp1(x,y,xi, cubic); plot(xi,Yi),2020/12/19,电子工程学院,68,2020/12/19,电子工程学院,69,问题的提出,函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值,根据实验观测数据,即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。,3.5 曲线拟合,2020/12/19,电子工程学院,70,曲线拟合问题,问题: 数据有误差,解决思路:求一函数,使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。,2020/12/19,电子工程学院,71,曲线拟合的最小二乘方法,已知数据表,残差,拟合函数,2020/12/19,电子工程学院,72,误差的表示方法:,最小二乘拟合: 确定拟合函数使平方误差2-范数最小,2020/12/19,电子工程学院,73,例:直线拟合的最小二乘方法,线性函数,误差函数,2020/12/19,电子工程学院,74,例:直线拟合的最小二乘方法,2020/12/19,电子工程学院,75,一般情况:,拟合函数的线性模型:,给定数据表,2020/12/19,电子工程学院,76,选择函数系: ,确定,使得,记,求二次函数I(a0, a1, an) 的最小值点,2020/12/19,电子工程学院,77,计算:,2020/12/19,电
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