.,1,3 卷 积,卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.,下面着重介绍卷积的概念与卷积定理.,1、卷积,定义 设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义, 则,称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积, 记为 f1(t)*f2(t).,.,2,即,若当自变量为负时，认为函数值为0，则上式可表示为：,-拉氏变换下的卷积的定义.,注：不同变换下的卷积定义不同.,.,3,2、卷积的性质,2.1 交换律,.,4,例1 设,求 f1(t)*f2(t).,.,5,解：代入定义，计算积分即可.,练习：请计算,.,6,解：根据（1）式，得,.,7,3、卷积定理,卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主 要体现在卷积定理上.,定理1,证明：根据定义，有,.,8,类似地，可以证明,可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.,.,9,同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理.,或者,定理2,这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的 证明类似，所以证明从略.,.,10,例4 若 求F f(t).,.,11,解：,解：,.,12,4 拉氏逆变换,1、反演积分公式,函数 f(t)的拉氏变换，实际上就是 的傅氏变换，即,因此，当 满足傅氏积分定理的条件时，在 f(t)的连续点处，有,.,13,公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数 f(t)的一般公式，称为反演积分公式.,.,14,证明思路：如图，引进辅助半 圆周，则形成闭合路径.,应用留数定理，令R+，并 证明cR上的积分趋于0，由此便 可得到结论.,2、利用留数求逆变换,则有,.,15,需要特别指出的是：,为不可约真有理分式，在这种情况下，可以利用公式（2）.,.,16,例1 求下列有理分式的拉氏逆变换：,（2）0 和 1 分别为分母的一级和二级零点，则,.,17,（3）,为假有理分式，于是分解,注意到 s = -1为 F(s) 的二阶极点，故,.,18,例2 求,的逆变换.,于是,解：显然,位移或微分性质,该题还可以其他办法求解.,.,19,5 拉氏变换的应用,拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到 响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.,下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换 求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.,此方法的原理：应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！,.,20,得,即,.,21,得,于是,即,.,22,例 解下列积分方程：,解：本题的方程为卷积型的，即可表为,那么由卷积定理，得,即,.,23,最后一步，取逆变换：,练习题 求解下列积分方程：,.,24,像原函数 （方程的解）,像函数,取拉氏逆变换,微分方程,像函数的 代数方程,取拉氏变换,解代数 方程,.,25,本讲主要内容：,、卷积和卷积定理,、拉氏逆变换,、拉氏逆变换的应用,.,26,致谢：,在课件制作过程中，参考了其他单位和个人的有关资料，在此表示衷心感谢！,