自学导引 1圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为：_、_、 _、_、_. 外离 外切 相交 内切 内含 2圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则 两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r1， r2的关 系 _ _ |r1r2|d _ _ dr1r2 dr1r2 r1r2 d|r1r2| |r1r2| (2)代数法：设两圆的方程分别为： C1：x2y2D1xE1yF10(D2 1E 2 14F10)， C2：x2y2D2xE2yF20(D2 2E 2 24F20)， 联立方程得 x2y2D1xE1yF10， x2y2D2xE2yF20， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解 的个数 2 组 1 组 0 组 两圆的公 共点个数 _个 _个 _个 两圆的位 置关系 _ _或_ _或_ 2 1 0 相交 外切 内切 外离 内含 自主探究 探究 1：当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相 离？只有一组解时一定外切吗？ 【答案】 不一定 当两圆组成的方程组无解时， 两圆无公共点， 两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点， 两圆相切，可能外切，也可能内切 探究 2：将两个相交的非同心圆的方程 x2y2DixEiyFi 0(i1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特 殊性呢？ 【答案】两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点经过 相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线 预习测评 1.圆(x+2) 2+y2=4 与圆(x-2) 2+(y-1) 2=9 的位置关系为 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 【答案】B 2两个圆 C1：x2y22x2y20，C2：x2y24x2y 10 的公切线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【答案】B 3点 P 在圆 O：x2y21 上运动，点 Q 在圆 C：(x3)2y2 1 上运动，则|PQ|的最小值为_ 4 两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长为_ 【答案】1 【答案】 2 要点阐释 1两圆的公共弦 (1)设圆 O1：x2y2D1xE1yF10， 圆 O2：x2y2D2xE2yF20， 则两圆相交公共弦所在直线方程为： (x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0， 即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0. (2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长 问题，从而得以解决如图，利用圆 O1首先求出 O1点到相交弦所 在直线的距离 d，而 AC1 2l， 1 4l 2r2 1d 2，即 l2 r2 1d 2，从而得以解决 2圆系问题 (1)过两圆交点的圆系方程 若两圆 C1： x2y2D1xE1yF10 与 C2： x2y2D2xE2y F20 相交，则过这两圆交点的圆的方程可表示为 C3：x2y2 D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.(不含圆 C2) (2)过直线与圆交点的圆系方程 若直线 l：AxByC0 与圆 C：x2y2DxEyF0 相 交，则经过它们交点的圆系方程可表示为： x2y2DxEyF(AxByC)0. 典例剖析 题型一 圆与圆位置关系的判断 【例 1】 已知圆 C1：x2y22mx4ym250，圆 C2：x2 y22x2mym230，问：m 为何值时，(1)圆 C1和圆 C2相 外切？(2)圆 C1与圆 C2内含？ 思路点拨：将圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径， 比较讨论，得出结论 解： 对于圆 C1，圆 C2的方程，配方得 C1：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24. (1)如果圆 C1与圆 C2相外切，则有 (m1)2(m2)232， 即(m1)2(m2)225，m23m100，解得 m5 或 m2. (2)如果圆 C1与圆 C2内含，则有 (m1)2(m2)232，即 (m1)2(m2)21，m23m20，解得2m1. 故(1)当 m5 或 m2 时，圆 C1与圆 C2相外切； (2)当2m0， 所以圆 C1与圆 C2有两个不同的交点，即两圆相交 法二：把圆 C1的方程化为标准方程，得(x2)2(y2)210. 圆 C1的圆心坐标为(2，2)，半径长 r1 10. 把圆 C2的方程化为标准方程，得(x1)2(y4)225. 圆 C2的圆心坐标为(1,4)，半径长 r25. 圆 C1和圆 C2的连心线的长为 (21)2(24)23 5， 圆 C1和圆 C2的两半径长之和是 r1r25 10，两半径长之 差是 r2r15 10. 而 5 103 55 10，即 r2r13 5r1r2. 所以圆 C1与圆 C2有两个不同的交点，即两圆相交 题型二 与两圆的公共弦有关的问题 【例 2】 求两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y 80 的公共弦所在直线的方程及公共弦长 思路点拨： 先利用两圆方程作差消去二次项， 求出公共弦所在 的直线方程，然后转化为直线与圆相交求弦长问题 解：联立两圆的方程得方程组 x2y22x10y240， x2y22x2y80， 两式相减得 x2y40，此即 为两圆公共弦所在直线的方程 法一：设两圆相交于点 A，B，则 A，B 两点满足方程组 x2y40， x2y22x2y80， 解得 x4， y0 或 x0， y2. 所以|AB| (40)2(02)22 5，即公共弦长为 2 5. 法二：由 x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250， 其圆心坐标为(1，5)，半径长为 r5 2，圆心到直线 x2y4 0 的距离为 d|12(5)4| 1(2)2 3 5.设公共弦长为 2l，由勾股 定理得 r2d2l2，即 50(3 5)2l2，解得 l 5，故公共弦长为 2l2 5. 2圆 A 的方程为 x2y22x2y70，圆 B 的方程为 x2 y22x2y20，判断圆 A 和圆 B 是否相交，若相交，求过两交 点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由 解：圆 A 的方程可写为(x1)2(y1)29，圆心 A(1,1)，半 径 rA3.圆 B 的方程可写为(x1)2(y1)24， 圆心 B(1， 1)， 半 径rB 2 ， 两 圆 心 之 间 的 距 离 满 足3 2|AB| (11)2(11)22 232.即两圆心之间的距离小于两圆半径 之和且大于两圆半径之差，两圆相交 两圆方程左、右两边分别相减可得 4x4y50，设两圆交 点分别为 C，D，则 C，D 两点坐标满足上述方程，故两圆公共弦 所在的直线方程为 4x4y50. 圆心 A 到直线 CD 的距离为 d|41415| 4242 13 8 2. 由勾股定理，得|CD|2 r2 Ad 22 3213 2 32 238 4 . 两圆相交，过两交点的直线方程为 4x4y50，两交点 间的距离为 238 4 . 题型三 圆系方程的应用 【例 3】 求经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点且圆心在直线 xy40 上的圆的方程 思路点拨： 可以先求出已知两圆的交点坐标， 然后由圆心在已 知直线上和圆过两定点求圆的方程， 也可以先用待定系数法设出过 两圆交点的圆系方程，再由圆心在已知直线上，确定系数 解： 法一：解方程组 x2y26x40， x2y26y280， 得两圆的交点 A( 1,3)，B(6，2) 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 xy40 上，故 b a4. 则 (a1)2(a43)2 (a6)2(a42)2， 解得 a1 2，故圆心为 1 2， 7 2 ，半径为 89 2 . 故圆的方程为 x1 2 2 y7 2 289 2 ， 即 x2y2x7y320. 法二：设所求圆的方程为 x2y26x4(x2y26y28)0(1)， 其圆心为 3 1， 3 1 ，代入 xy40，解得 7. 故所求圆的方程为 x2y2x7y320. 方法点评：求圆的方程，方法较多，然而利用圆系方程或利用 圆的几何性质求解，运算量较小且简便适用. 3 求过直线 2xy40 和圆 x2y22x4y10 的交点， 且满足下列条件之一的圆的方程： (1)过原点；(2)有最小面积 解：设所求圆的方程为 x2y22x4y1(2xy4)0， 即 x2y22(1)x(4)y(14)0. (1)因为此圆过原点，140. 1 4，所求圆的方程为 x 2y23 2x 17 4 y0. (2)当半径最小时，圆面积也最小，对原方程左边配方 得x(1)2 y4 2 25 4 8 5 24 5. 当 8 5时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为 x13 5 2 y6 5 24 5. 误区解密 考虑问题不全面致错 【例 4】 求半径为 4，与圆 x2y24x2y40 相切，且和 直线 y0 相切的圆的方程 错解：由题意知，所求圆与直线 y0 相切且半径为 4，设其 圆心 C 的坐标为(a,4)，且其方程为(xa)2(y4)242，又圆 x2 y24x2y40，即(x2)2(y1)232，其圆心为 A(2,1)， 半径为 3.由两圆相切，得|CA|34， 所以(a2)2(41)272，解得 a2 2 10， 所以所求圆的方程为 (x22 10)2(y4)216 或(x22 10)2(y4)216. 错因分析：上述错解只考虑了圆心在直线 y0 上方的情形， 而漏掉了圆心在直线 y0 下方的情形，另外错解没有考虑两圆内 切的情况，也是不全面的 正解：由题意，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，圆心 为 C，又圆 C 与直线 y0 相切且半径为 4.故圆心 C 的坐标为(a,4) 或(a，4)又因为圆 x2y24x2y40 的圆心 A 的坐标为 (2,1)，半径为 3.若两圆相切，则|CA|437 或|CA|431. 当取 C(a,4)时， (a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)， 故 a2 2 10，此时所求圆的方程为 (x22 10)2(y4)216 或(x22 10)2(y4)216； 当取 C(a，4)时， (a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，所 以 a2 2 6，此时所求圆的方程为(x22 6)2(y4)216 或 (x22 6)2(y4)216. 纠错心得： 处理两圆相切问题，首先，必须准确把握是内切还是外切，若 只是告诉两圆相切， 则必须分两圆内切和外切两种情况讨论； 其次， 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对 值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 课堂总结 1 判断两个圆的位置关系常用两圆圆心距 d 与两圆半径的和、 差比较大小dRr 时，两圆外切；d|Rr|时，两圆内切；d |Rr|时，两圆内含；dRr 时，两圆相离；|Rr|dRr 时，两圆相交