旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 1 - 学业分层测评(十八) 古典概型 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1下列试验中，属于古典概型的是( ) A种下一粒种子，观察它是否发芽 B从规格直径为 250 mm0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一 根，测量其直径d C抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D某人射击中靶或不中靶 【解析】 依据古典概型的特点判断，只有 C 项满足：试验中 所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性 相同 【答案】 C 2集合A2，3，B1，2，3，从A，B中各任意取一个数， 则这两数之和等于 4 的概率是( ) A. 2 3 B 1 2 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 2 - C. 1 3 D 1 6 【解析】 从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，共 6 种情况，其中两个数之和为 4 的有(2， 2)，(3，1)，故所求概率为 2 6 1 3.故选 C. 【答案】 C 3四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从这四条线段中任取三 条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A. 1 4 B 1 3 C. 1 2 D 2 5 【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条， 每条被取出的可能 性均相等， 所以该问题属于古典概型 又所有基本事件包括(1， 3， 5)， (1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件 只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率 是P 1 4. 【答案】 A 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 3 - 4已知集合A2，3，4，5，6，7，B2，3，6，9，在集 合AB中任取一个元素，则该元素是集合AB中的元素的概率为 ( ) A. 2 3 B 3 5 C. 3 7 D 2 5 【解析】 AB2，3，4，5，6，7，9，AB2，3，6， 所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是 3 7. 【答案】 C 5把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数 为a，第二次出现的点数为b，则方程组 axby3， x2y2 只有一个解的 概率为( ) A. 5 12 B 11 12 C. 5 13 D 9 13 【解析】 点(a，b)取值的集合共有 36 个元素方程组只有一个 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 4 - 解等价于直线axby3 与x2y2 相交，即 a 1 b 2，即 b2a，而满 足b2a的点只有(1， 2)， (2， 4)， (3， 6)， 共3个， 故方程组 axby3， x2y2 只有一个解的概率为 33 36 11 12. 【答案】 B 二、填空题 6(2016石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图 321 所示的树枝上 寻觅食物， 假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径， 则它能获 得食物的概率为_ 图 321 【解析】 该树枝的树梢有 6 处，有 2 处能找到食物，所以获得 食物的概率为 2 6 1 3. 【答案】 1 3 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 5 - 7 在平面直角坐标系中， 从五个点：A(0， 0)，B(2， 0)，C(1， 1)， D(0， 2)，E(2， 2)中任取三个， 这三点能构成三角形的概率是_(结 果用分数表示) 【解析】 从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n 10； 而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成 三角形的个数为 1028. 设“从五个点中任取三个点， 这三点能构成三角形”为事件A， 则 A所包含的基本事件数为m8， 故由古典概型概率的计算公式得所求 概率为P(A) m n 8 10 4 5. 【答案】 4 5 8现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5，2.6，2.7， 2.8，2.9.若从中一次抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的 概率为_. 【导学号：28750058】 【解析】 基本事件共有(2.5， 2.6)， (2.5， 2.7)， (2.5， 2.8)， (2.5， 2.9)， (2.6， 2.7)， (2.6， 2.8)， (2.6， 2.9)， (2.7， 2.8)， (2.7， 2.9)， (2.8， 2.9)10 种情况相差 0.3 m 的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两种情况， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 6 - 所以P 2 10 1 5. 【答案】 1 5 三、解答题 9 某商场举行购物抽奖促销活动， 规定每位顾客从装有编号为 0， 1，2，3 四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回， 连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于 6，则中一等奖，等 于 5 中二等奖，等于 4 或 3 中三等奖 (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率 【解】 设“中三等奖”为事件A， “中奖”为事件B， 从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)， (1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)， (3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共 16 种不同的结果 (1)取出的两个小球号码相加之和等于 4 或 3 的取法有：(1，3)， (2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共 7 种结果， 则中三等奖的概率为P(A) 7 16. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 7 - (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于 3 或 4 的取法有 7 种； 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种：(2，3)，(3，2) 两个小球号码相加之和等于 6 的取法有 1 种：(3，3) 则中奖概率为P(B) 721 16 5 8. 10(2016长沙联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如 下：每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元，超过 1 小时的部分每 小时收费 8 元(不足 1 小时按 1 小时计算)现有甲、乙两人在该地停 车，两人停车都不超过 4 小时 (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 1 3，停车费多于 14 元的概率为 5 12，求甲的停车费为 6 元的概率； (2)若甲、 乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同， 求甲、 乙两人停车费之和为 28 元的概率 【解】 (1)设“一次停车不超过 1 小时”为事件A， “一次停车 1 到 2 小时”为事件B， “一次停车 2 到 3 小时”为事件C， “一次停车 3 到 4 小时”为事件D. 由已知得P(B) 1 3，P(CD) 5 12. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 8 - 又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)1 1 3 5 12 1 4. 所以甲的停车费为 6 元的概率为 1 4. (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1， 4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3， 4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 16 个； 而“停车费之和为 28 元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共 3 个， 所以所求概率为 3 16. 能力提升 1从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数 为 0 的概率是( ) A. 4 9 B 1 3 C. 2 9 D 1 9 【解析】 个位数与十位数之和为奇数， 则个位数与十位数中必有 一个奇数一个偶数，所以可以分两类： 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 9 - (1)当个位为奇数时，有 5420(个)，符合条件的两位数 (2)当个位为偶数时，有 5525(个)，符合条件的两位数 因此共有 202545(个)符合条件的两位数，其中个位数为 0 的 两位数有 5 个，所以所求概率为P 5 45 1 9. 【答案】 D 2 (2015广东高考)已知 5 件产品中有 2 件次品， 其余为合格品， 现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( ) A0.4 B0.6 C0.8 D1 【解析】 记 3 件合格品为a1，a2，a3，2 件次品为b1，b2，则 任取 2 件构成的基本事件空间为(a1，a2)， (a1，a3)， (a1，b1)， (a1， b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)， 共 10 个元素 记“恰有 1 件次品”为事件A，则A(a1，b1)，(a1，b2)，(a2， b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共 6 个元素 故其概率为P(A) 6 100.6. 【答案】 B 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 10 - 3(2016南阳高一检测)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m， n作为点P的坐标，则点P落在圆x2y216 上或其内部的概率是 _ 【解析】 连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共 有 36 种情况，其中点P(m，n)落在圆x2y216 上或其内部的情况 有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)， 共 8 种情况，所以P 8 36 2 9. 【答案】 2 9 4(2015山东高考)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社 团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概 率； (2)在既参加书法社团又参加演讲 社团的 8 名同学中，有 5 名男 同学A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学B1，B2，B3.现从这 5 名男同学 旗开得胜 读万卷书 行万里路 - 11 - 和 3 名女同学中各随机选 1 人，求A1被选中且B1未被选中的概率 【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社 团的有 30 人， 故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)， 所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概 率为P 15 45 1 3. (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的 结果组成的基本事件有： A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3， A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5， B1，A5，B2，A5，B3，共 15 个 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有： A1，B2， A1，B3，共 2 个 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P 2 15.