1.了解指数函数、对数函数、线性函数了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数一次函数) 的增长差异的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 3.了解函数的建模过程。了解函数的建模过程。 学习目标学习目标 三种函数模型的性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 趋势 随x增大逐渐近似与y 轴平行 随x增大逐渐近似与 x轴平行 随n值而不同 增长速度 yax(a1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大 于yxn(n0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢 存在一个x0，当xx0时，有axxnlogx 增函数 增函数 增函数 y 轴 x轴 越来越快 越来越慢 axxnlogax 温故知新温故知新 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存 在很大差异事实上，这种差异正是不同类型现实 问题具有不同增长规律的反映因此，如果把握了 不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问 题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规 律下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数 增长方式的差异 提出问题提出问题 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类 型现实问题具有不同增长规律的反映. 我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法. 下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k0 ，指数函数g(x)=ax(a1) ， 对数函数在定义域内增长方式的差异.()()log=1 a h xx a 问题探究问题探究 以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒 小于0，所以我们重点研究在区间(0,+)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： xy=2xy=2x 010 0.51.4141 122 1.52.8283 244 2.55.6575 386 x y O y=2x y=2x 问题探究问题探究 (3) 观察两个函数图象及其增长方式： 结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4) 结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下 结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增 长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快. x y (2,4) (1,2) 12 1 2 3 4 5 6 7 8 O 问题探究问题探究 请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？ 思考：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速 增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道. x y 12 1 2 3 4 5 6 7 8 O 问题探究问题探究 总结一：函数y=2x与y=2x在0,+)上增长快慢的不同如下： 虽然函数y=2x与y=2x在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度. 尽管在x的一定范围内，2xx0时，恒有2x2x. 归纳总结归纳总结 总结二：一般地指数函数y=ax(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长都与上述类似. 即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a1)虽然有一段区间会小于 y=kx(k0)，但总会存在一个x0，当xx0时， y=ax(a1)的增长速度会大大超 过y=kx(k0)的增长速度. 归纳总结归纳总结 1四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05106 3.36107 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 x 呈指数函数变化的变量是_. 跟踪训练跟踪训练 答案：y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y2， y3，y4均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变 化故填 y2. 分析：(1) 在区间(-,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0， 所以研究在区间(0,+)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： xy=lgx 0不存在不存在0 1011 201.3012 301.4773 401.6024 501.6995 601.7786 以函数y=lgx与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. 1 10 =yx 1 10 =yx x y 102030405060 1 2 3 4 5 6 O 1 10 =yx y=lgx 问题探究问题探究 (3) 观察两个函数图象及其增长方式： 总结一：虽然函数y=lgx与在(0,+)上都是单调递增， 但它们的增长速度存在明显差异. 1 10 =yx 在(0,+)上增长速度不变，y=lgx在 (0,+)上的增长速度在变化. 1 10 =yx 随着x的增大，的图象离x轴越来越远， 而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样. 1 10 =yx x y 1020 30405060 1 2 3 4 5 6 O 1 10 =yx y=lgx 问题探究问题探究 例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4； = 1111 101100101000100100001000 10101010 ， 这表明，当x10，即y1，y=lgx比相比增长得就很慢了. = 1 10 yx x y 102030405060 1 2 3 4 5 6 O 1 10 =yx y=lgx 问题探究问题探究 思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与比较，仍有 上面规律吗？先想象一下，仍然有. = 1 10 yx x y 2110 4220 6330 8440 10550 126601477016880 1899021100 23210253202743029540 3165033760 358703798040090 42200443104642048530 5064052750 2110 4220 6330 8440 10550 12660 14770 O 总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数y=kx(k0)在 (0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. ()log=1 a yx a 随着x的增大，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢. ()log=1 a yx a 不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，恒有. logaxlogax log a xkx 归纳总结归纳总结 1函数 f(x)lg x，g(x)0.3x1 的图象如图所示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的 大小进行比较). 跟踪训练跟踪训练 解 (1)C1对应的函数为 g(x)0.3x1，C2对应的函数为 f(x)lg x. (2)当 xf(x)；当 x1xg(x)； 当 xx2时，g(x)f(x)；当 xx1或 xx2时，f(x)g(x) 1下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( ) Ayex Byln x Cyx2 Dye x 【答案】【答案】 A 结合指数函数， 对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A 正确 当堂达标当堂达标 2能使不等式 log2xx24 时，log2xx20，指数 函数g(x)=ax(a1) ，对数函数在定义域上的 不同增长方式. ( )()log=1 a h xx a 课堂小结课堂小结 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观 察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数 是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数 人教人教A版必修第一册版必修第一册