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复变函数复习重点(一)复数的概念1. 复数的概念:z = x+iy , x, y 是实数,x = Re(z ),y = Im (z ).=1.注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小 2. 复数的表小1 )模:z = Jx2 +y2 ;2)幅角:在z#0时,矢虽与x轴正向的夹角,记为 Arg(z)(多值函 数);主值arg(z)是位于(-兀,兀中的幅角。3)arg(z )与arctan -之间的关系如下:x业-. y -当 x 0, argz =arctanZ ;xyy - 0,arg z =arctan- 二x 0,y y : 0,arg z= arctan- 一.x4) 三角表小:z = z (co用+i sine),其中1 e=argz;注:中间一*定是 “ +”号。5) 指数表小:z=ze旧,其中8 = argz。(二)复数的运算1. 加减法:若 z1=x+iy2=x2+iy2,贝U 乙=( x x?)+i(y士 y?)2. 乘除法:1)若乙=x+iy,z2 =x2+iy2 ,贝Uzz2 =(xx2 yM )+i 仪2山 +xm );2xy x2yzxi y 为 i y x i 2/x x y :y I22z2x2i y x i2y - 2x2y2x2y2)若 4 =乙 eH,丕=z2 ez1z2 =次邺);至卫衅)z2z23. 乘昂与方根1 )若 z = z (cos6 +i sinB) =|z e旧,贝Uzn=|zn (cos汨+isin 汨)=zn eo2)若 z = z (cos+i sinW) =|z e%贝U2k二 cosn. . 2k 二i sinn(k = 0,1,2j|n-1)(有n个相异的值)(三)复变函数1 .复变函数:w=f(z),在几何上可以看作把z平面上的一 个点集D变到w平面上的一个点集G的映躬.2. 复初等函数1)指数函数:ez=ex(cosy+isiny ),在z平面处处可导,处处解析;且(ez ) =ez o注:ez是以2叫为周期的周期函数。(注意与实函数不同)3)对数函数:Lnz=ln|z|+i(argz+2k (k =0,1,2|)(多值函数);主值: ln z = ln z| +i argz。 (单值函数)Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且lnz =1; z注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)3)乘藉与藉函数:ab=ebLna (a,0) ; zb = ebLnz0)注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且(/j=bzb。4)三角函数:sinz=JM,cosz = 5,tgz=虹,浊=竺 2i2cosz sin zsin z,cos z在z平面内解析,且(sin z = cosz, cosz - - sin z注:有界性sinz#,cosz1不再成立;(与实函数不同)z_zz _z4)双曲函数 shz= ,chz=;22shz奇函数,c h是偶函数。s h,z c h& z平面内解析,且(s h z = c h z ) oh z o shz(四) 解析函数的概念1. 复变函数的导数1) 点可导:fM=:z)-fm);2) 区域可导:f(z)在区域内点点可导。2. 解析函数的概念1) 点解析:f(z )在及其zo的邻域内可导,称f(z )在乙点解析;2) 区域解析:f(z)在区域内每一点解析,称f(z)在区域内解析;3) 若f (z)在zo点不解析,称zo为f(z)的奇点;3. 解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五) 函数可导与解析的充要条件1 .函数可导的充要条件:f (z)=u(x,y)十iv(x,y诳z = x+iy可导u u(x, y )和v(x, y )在(x, y)可微,且在(x, y )处满足C - R条件:一u;:vju;:v,.x;:y.:y.x此时,有f(z广丝+。;x;x2 .函数解析的充要条件:f (z)=u(x,y)+iv(x,y兄E区域内解析u u(x, y )和v(x, y )在(x,y )在D内可微,且满足C R条件:.:uN;:u:v=一, 一 :x:y;:y:x此时f z二史iM;x ;x注意:若u(x,y),v(x,y )在区域D具有一阶连续偏导数,则u( x, y ),v(x, y ) 在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说 明u,v具有一阶连续偏导且满足C R条件时,函数f(z)=u+iv 一定是可导或解析的。3. 函数可导与解析的判别方法1) 利用定义(题目要求用定义,如第二章习题 1)2) 利用充要条件(函数以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)形式给出,如第二章习题2)3) 利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以z的形式给出,如第二章习题 3)(六) 复变函数积分的概念与性质1 .复变函数积分的概念:Jf(z)dz = lim2 口门归,c是光滑曲线。cn jk d注:复变函数的积分实际是复平面上的线积分。-可编辑修改-2 .复变函数积分的性质1 )f (z)dz = Jf (z)dz(c与 c 的方向相反);2) gaf (z)+Eg(zdz =叮 f (z)dz + E Jcg(z)dz,a,日是常数;3) 若曲线 c 由 ci与 C2连接而成,贝U JC f (z )dz= L f (z)dz + J f (z)dz。3. 复变函数积分的一般计算法1) 化为线积分:Jcf (z)dz=cudxvdy+i vdx + udy ;(常用于理论证明)2) 参数方法:设曲线 c : z = z(t)0t即),其中a对应曲线c的起点,P对应曲线c的终点,贝UJ f ( z) d=z* f( z t ( z。t d tc(七) 关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理:设f(z)在单连域B内解析,c为B内任一闭曲线,则jf (z)dz=0 c2 .复合闭路定理: 设f(z)在多连域D内解析,c为D内任意一条简单闭曲线,ci,c2,川cn是c内的简单闭曲线,它们互不包含互不 相交,并且以G.jllcn为边界的区域全含于 D内,则nJ|f (z)dz =,皿f (z )dz, 其中1 c与ck均取正向;gf(z)dz=0,其中由c及/ = 1,2,川n)所组成的复合闭路。3 .闭路变形原理:一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的 积分,不因c在D内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程 中c不经过使f(z)不解析的奇点。4. 解析函数沿非闭曲线的积分:设f(z)在单连域B内解析,G(z)为 f(z )在8 内的一个原函数,贝Uf (zpz=G(Z2)-G(Zi)(z1,z2 B)zi说明:解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算 时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式: 设f(z)在区域D内解析,c为D内任一正向简单闭曲线,c的内部完全属于D , z0为c内任意一点,则f zdz=2二if zCz-zo6. 高阶导数公式:解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的 n阶 导数为M zn.dz=2 f(nkzo ) (n = 1,211) c(z-z) n!其中c为f (z)的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于Do7. 重要结论:mrdzW2”n=。( c是包含a的任意正向简单闭曲Y(z-a)n10, n=0线)8. 复变函数积分的计算方法 1 )若f(z)在区域D内处处不解析,用一般积分法f z dz = _ fz t z t dtc、J2)设f (z)在区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线,则由柯西一古萨定理,&f(z)dz = 0c是D内的一条非闭曲线,z1,z2对应曲线c的起点和终点,则有z2f z dz = f z dz = F z2 - F 乙cz
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