2.5矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换 二、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵 三、矩阵的初等变换的应用 复习小结,程学汉,问题的来源,在计算矩阵的逆矩阵与求解线性方 程组时，需要进行大量的行列式计算， 所需的计算量非常大。,在计算行列式时，利用行列式的基本性质可以将给定的行列时化为上（下）三 角形行列式，从而简化行列式的计算。,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,一、初等行(列)变换,同理,可定义矩阵的初等列变换(将初等行变换所用记号中的“r”换成“c”),下面三种变换称为矩阵的初等列变换:,其逆变换为:,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,对于每种初等行变换,将一个矩阵经初等行变换后得到的新矩阵,再经逆变换还原到原矩阵,其逆变换与其类型相同.,其逆变换为:,其逆变换为:,同理,对于每种初等列变换,将一个矩阵经初等列变换后得到的新矩阵,再经逆变换还原到原矩阵,其逆变换与其类型相同. (将初等行变换所用记号中的“r”换成“c”),矩阵之间的等价关系具有下列性质：,注:通常,将具有上述三条性质的关系称为等价关系例如，两个线性方程组的同解关系，具有上述三条性质, 是一种等价关系,称这两个线性方程组同解或等价.,定义：如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B 等价，记作A B,AA;,称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：,1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；,2）若有r个非零行,设各非零行的首非零元的列标依次为j1,j2,jr,则 1 j1j2 jr n (注:若r2,从第2行起,各非零行的首非零元的列标, 大于前一行首非零元的列标.) .,1.行阶梯形矩阵,二、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵,如,下列矩阵是否是行阶梯形矩阵？,行阶梯形矩阵一般形式,例1. 设,将矩阵A用初等行变换化为行阶梯形矩阵,为所求的行阶梯形矩阵.,称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：,1）行阶梯形矩阵,2.行最简形矩阵,2）各非零行的首非零元均为1.,3）首非零元所在列其它元素均为.,如,行最简形矩阵一般形式,称满足下列两个条件的矩阵为标准形矩阵：,1）若有非零元,则左上角为单位矩阵；,3.标准形矩阵,）其它元素均为.,如,标准形矩阵一般形式,若矩阵有非零元,矩阵的左上角为单位矩阵,若有其余元素,均为0.,注: 将零矩阵作为标准形的一个特例.,利用初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵.,利用初等行变换，可把矩阵化为行最简形矩阵.,利用初等变换可把矩阵化为标准形矩阵.,例2. 将下列矩阵利用初等行变换化为行阶梯形矩阵,再化为行最简形矩阵,最后利用初等列变换化为标准形矩阵.,注意：化矩阵为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵时仅能用初等行变换. 化矩阵为标准形矩阵时，初等行变换和初等列变换均可以使用.,证:,行最简形矩阵可再经过初等列变换，化成标准形矩阵,得出,所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.,思考题,问题: 对于方阵来说，矩阵的初等变换对 方阵的奇异性有没有影响？,问题: n阶可逆矩阵A的标准形矩阵是什么？,定理：如果A为n阶可逆矩阵, 则矩阵A经过有 限次（行、列）初等变换可化为单位矩阵E, 即,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,右侧矩阵特点：,（1）、可画出一条阶梯线，线的左下方全为零；,二、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵,