2.5矩阵的初等变换,一、初等矩阵的概念 二、初等矩阵的性质 三、初等矩阵的应用 复习小结,程学汉,定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,一、初等矩阵的概念,问题：写出所有类型的n阶初等矩阵？,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,二、初等矩阵的性质,二、初等矩阵的性质,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,二、初等矩阵的性质可逆性,定理2 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限次初等行变换，将A 化成单位矩阵.,证: 先证必要性: 己知存在有限次初等行变换，将A 化成行最简形矩阵B,与此相对应的存在有限个初等矩阵,存在有限次初等行变换，将A 化成单位矩阵.与此相对应的存在有限个初等矩阵,则A 可逆.,再证充分性:,推论： 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,三、初等变换的应用求逆矩阵：,解,例,三、初等变换的应用求逆矩阵：,三、初等变换的应用求逆矩阵：,即,初等行变换,例,解,三、初等变换的应用解矩阵方程：,三、初等变换的应用解矩阵方程：,三、初等变换的应用解矩阵方程：,三、初等变换的应用解矩阵方程：,解,例3,三、初等变换的应用,三、初等变换的应用,三、初等变换的应用,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,四、小结,思考题,解,可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.,而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,思考题解答,由初等方阵的性质得,