专题 17 路线问题读一读 回家的路线不只一条国外有句名言，叫“条条大路通罗马” ，用我们的话来“翻译” ，可以说成： “条条大路通北京” 。这句话告诉我们， 只要我们坚持不懈地走下去， 通向成功的路不止一条， 就象骑车去北京也是一种走法一样。不是吗？好好想想，你从家走到学校的路肯定不只有一条。数学中研究的路线问题，关键在不遗漏不重复地找到所有情形。想一想 例 1 从学校到车站有 2 条路可走，从车站到家里有 1 条路可走，从学校到车站乘车回家，有几种不同的走法？剖析 可以把题中表述的方法用图表示出来：由图可看出， 从学校出发可以走号线到车站再走号线到家； 也可以走号线到车站再走号线回家。解 从学校回家，有两种不同的走法：，或。练一练 1、小红从家到敬老院有 2 条路可走，从敬老院到公园也有 2 条路可走，小红从家到公园有几种走法？2、小英从家到书店有 2 条路可走，从书店到电影院有 3 条路可走，从家到书店再到电影院，有几种不同的走法？解 1、有 4 种走法，2、有 6 种不同的走法：，。例 2 从小华家到学校有三条路可走，从学校到红领巾公园有 2 条路可走，从小华家经过学校到红领巾公园，有几种不同的走法？起点相同，终点相同，但经过的地方不同，就是不同的路线。走的过程中， 有不同的路径就是不同的走法， 本题不能认为不同的走法为 3+2 5（种） 。剖析 示意图如下，分别给不同的路径标号。由图可知， 从小华家出发，如果先走号线到学校，到校后可走号线，或走号线到公园，这样就有两种走法。如果先走号线到学校后，仍有号、号线这两种走法。如果先走号线到学校后，还是有两种走法。这样一共有 2+2+2 6（种）不同的走法。不同的走法有：解 ，共 6 种。练一练 1、从公园到城堡有 2 条路，从城堡到森林动物园有 4 条路，从公园到森林动物园有几种走法？2、从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 4 条路，从甲地到乙地再到丙地有几种走法？解 1、共有 8 种线路：，2、有 12 种不同的走法：，。列 3一只蚂蚁从“ 1”处爬到“ 4”处（只能向上或向右行走） ，有几种不同走法？这表明走的时候不能往回走，而由图知， “ 1”处出来有两条线，表明从“ 1”出发有两种走法。剖析 根据只能向上、向右行走，可以这样想：蚂蚁从“ 1”处出发如果先爬到“ 2”处，再从“ 2”处可以经过“ 3”处到“ 4”处，也可以经过“ 5”处到“ 4”处，这样有两种走法；如果蚂蚁从“ 1”处出发先爬到“ 6”处，那么只能经过“ 5”处到达“ 4”处，有一种走法。这样一共有 2+1 3（种）不同走法。解 1 2 3 4， 1 2 5 4， 1 6 5 4 共 3 种练一练 1、小蜗牛从“ 1”处爬到“ 6”处（只能向上、向右爬行） ，有几种不同走法？2、 公园前门到后门只有这样几条汽车行驶路线 （如图所示） ， 一汽车从前门到后门共有几种不同的走法？解 1、小蜗牛从“ 1”处爬到“ 6”处，共有 3 种不同路线。，2、汽车从前门到后门共有 6 种走法。例 4班上举行羽毛球对手赛，每一组推选一名代表共四名队员，每个人都和另外三人赛一场，这样一共要打几场比赛？剖析 不妨用、来表示四个同学，先考虑号同学，由于每个人都要和另外三个人赛一场， 那么号同学就要和号、 号、 号同学各赛一场， 这样要打 3 场比赛，再考虑号同学，他已经与号赛过，只要再和号、号各赛一场，这样要打 2 场比赛，同样，号同学还要和号同学赛一场。解 这样一共要打 3+2+1 6（场）乒乓球赛。点拨 在类似的规则下，球类比赛（如乒乓球等） ，握手等的总数与相互寄信、赠书等的总数并不相同。练一练 1、北京举行校园杯大学生足球友谊比赛，共有五个队参赛，每队都要和另外四个队赛一场，这样一共要踢几场足球赛？2、四个小伙伴在新年来临之前互相赠送贺年卡，这样一共要送出多少张贺年卡？解 1、用表示五个队，一共要踢 10 场足球赛，即： 2、一共要送出 12 张贺年卡。例 5 一辆客车往返于南京、上海、杭州三地，请问，车站要为这辆客车准备多少种不同的车票供旅客选择？剖析 先考虑从南京出发的旅客需要几种不同的车票：南京上海，南京杭州。再考虑从上海出发的旅客，只需要上海杭州的车票。但因为条件中说这辆客车是往返于南京、 上海、 杭州三地， 也就是说不但要从南京上海杭州，而且还要从杭州上海南京。因此还要考虑从杭州出发的旅客需要杭州上海 杭州南京两种车票。 从上海出发的旅客需要南京一种车票。解 汽车站要为这辆客车准备 6 种不同的车票供旅客选择。按这个规则，甲、乙两人进行羽毛球比赛只赛 1 场，而如果是甲、乙两人互赠贺卡则不同，此时共赠送 2 张贺卡车票不仅要考虑旅程的长短， 还要考虑起点与终点， 从南京上海与上海南京，票价相同，但起点不同，车票就不同。练一练 1、一艘客船往返于上海、宁波、大连三地，要准备多少种不同的船票？2、用数字 1、 2、 3 可以组成多少个不同的三位数？解 1 、从上海宁波大连，需要上海宁波 上海大连 宁波大连三种船票从大连宁波上海，需要大连宁波 大连上海 宁波上海三种船票2、 先考虑百位上是 1 的数， 有 123 和 132 两个； 再考虑百位上是 2 的数， 有 213 和 231两个；最后，百位上是 3 的有 312 和 321. 可以组成 6 个三位数： 123、 132、 213、 231、 312、 321 做一做 1、如图所示，从书店到音像店有几条不同的路线？2、如图所示从的士停靠点到火车站有几条不同路线？是哪几条？3、如图所示，从大门到亭子有几条不同路线？4、小蚂蚁从 1 走到 5，不走重复路，有几种不同的走法？5、小明、小红、小强、小莉是好朋友，这天他们每两人互通了一次电话，请问这天他们一共通了多少次电话？6、从甲城到乙城有 8 条公路，从乙城到丙城有 2 条高速路， 3 条普通路。（ 1）从甲城经乙城到丙城，走高速路有几条不同路线？（ 2）从甲城经乙城到丙城，走普通路有几条不同路线？（ 3）从甲城经乙城到丙城，共有几条不同的路线？7、如图所示从前门到后门有几条不同路线？是哪几条？8、如图所示从 A 到 B 有几条不同路线？是哪几条？说明： 9， 10 两题删去。答案 1、2、3、4、 1 2 3 5， 1 2 3 4 5， 1 3 5， 1 3 4 5， 1 4 5， 1 4 3 5， 6 种5、用 A 、 B、 C、 D 代表四个小朋友。先考虑 A，每两人互通一次电话说明， A 和 B、C、 D 三个小朋友都打了一次电话。再考虑 B，由于 B 已经和 A 通过电话了，所以就只需要考虑和 C、 D 两位小朋友打电话。依次类推。6、 （ 1） 8 2 16（条） ； （ 2） 8 3 24（条） ； （ 3） 16+24 40（条）7、 4 条。 1 2 3 4 8， 1 2 3 7 8， 1 2 6 7 8， 1 5 6 7 8 8、 A 1 2 3 B， A 1 2 3 4 B， A 1 4 B， A 1 4 3 B， A 5 4B， A 5 4 3 B， 6 条说明： 9， 10 两题删去。