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- 1 -球面上的几何性质余金荣(华中师范大学数学与统计学学院 武汉 430079)自笛卡儿发明直角坐标系以来,我们就认识到:一对有序实数,可以将其在坐标系中用一个点表示。如今,我们已将数的研究范围从“实数”扩展到“复数” 。通过有关的学习,我们知道一个复数 也可以与坐标系中的一zxiy个点一一对应。这样将全体复数构成的集合在坐标系中进行表示,则形成了一个复平面,复平面中的每一个点唯一对应一个复数。对于我们已经熟知的复平面及复数在其上的一些性质,现在想通过构造一个新的一一映射,使复平面上的点能够在一个三维球面上被表示,称为复数的球面几何表示。通过这样一个一一映射,我们可将对平面上的复数的研究转移到一个有限的三维空间上去,并在这个新的空间中讨论复数在其上的一些性质及关系。为了讨论问题的需要,我们先引进一些定义和名词:设两点 , 位于圆周 的两侧,并位于过圆心 的同一条射线上,还满1z2K0z足 ,其中 为圆周 的半径,则称 , 关于圆周 对称100R12K(如图 1 所示) 。(图 1)现在要作出复数在球面上的几何表示。建立三维直角坐标系 ,在点坐标是 的三维空间中,把 平Oxyu(,)xyuxOy面看作就是 复平面。考虑球面 : 取定球面上一点zxiyS221- 2 -,称为北球极,其中 称为南球极。作连接 与 平面上的(0,1)N(0,1)SNxOy任意一点 的直线,并且设这直线与球面的交点是 ,它满足(,0)Axy (,)Au那么 称为 在球面上的球极投影(如图 2) 。22xuA(图 2)由于 , 及 共线,我们有 ,(,0)Axy(,)xyu(0,1)N:1:1xyu从而1xiyziu又因为222()()z并且1xiyziu于是有 (其中 为向量 的模)222,1(1)zzzxyizOA这样,在复平面 与 之间建立了一个双射 并且,ASN (,0)(,)xyu如果一点 的模愈大,即 离 点愈远,那么它的球极射影就愈接近于球极zzO(如图 2) 称图 2 中的球面 为复球面N另外,其中与 点对应的复平面上的带内在无穷远处,我们称这一点为复平面上的无穷远点,记为 ,而加入了无穷远点的复平面称为扩充复平面由于扩充复平面比较复杂,超出了我们想要讨论的范围,在这里就不多做说明,有兴趣的读者请参阅文献2 我们通过建立三维直角坐标系构造复平面与复球面之间的一一映射,使复- 3 -平面上的点的表示与复球面上的点的表示可以相互转换,那么是否在复平面上具有一定关系的两个点,将它们映射到复球面上时也具有相应的关系呢?我们下面的讨论正是为此展开的。定理 1在复平面 中,设圆周 : , 和 关于圆周 对称,zCzR1z2C则 和 的球极投影点到圆周 的球极投影所在平面距离相等的充要条z2件是:,222212 11()()0zzdzzd其中 dR证明:复平面上的圆周 的球极投影所在的平面是zR: K()()(1)0xiydu1由几何的知识易知 和 在球极投影上分居 的两侧,因此 和 的球极投影1z2Kz2点分别设为 和 ,到 的距离相等的充要条件是 和 的中点在 上。而Z 1ZK和 的中点在 上的充要条件是:12 1212221()()1() 0zzzziiizzdd 等价于 22221211212 2()()()()0zzzzd等价于 222211112 2()()()()0zzzzd等价于证毕。222212 11()()0zzzzd- 4 -通过讨论复平面上具有一定关系(关于某个圆周对称)的两点,将它们投射到复球面上以后,它们的球极投影之间也具有一定的关系。另外从定理 1 的结论中我们注意到下述等式: 22(1,)iiiizzi则可得到以下推论 1推论 1设圆周 , , 和 关于圆周 对称,则:CzR2d1z2C和 的球极投影 和 到圆周 的球极投影所在的平面 的距离相等的充1z21Z2 K要条件是222 221 11() )() )0zdzzdz在定理中,我们考虑的是复平面中圆周的一般方程 ,现将它简化,zR得到如下推论:推论 2设圆周 , 和 关于圆周 对称,则 和 的球极投影:CzR12zC1z2和 到圆周 的球极投影所在的平面 的距离相等的充要条件是 此1ZKR时 和 的球极投影 和 关于平面 对称z21Z2证明在定理 1 中取 ,可以得到: 021zR则 , 到平面 的距离相等的充要条件是:1Z2K22221 1()()0zRz等价于 442 221 1()()()zzR等价于 24224242 64111110RzzRzz等价于 24 224211 1()()()()zzRz等价于 211()()0()Rzz等价于- 5 -1R在1中有后一结论的陈述,证毕。我们通过以上方法建立的复平面与复球面之间的一一映射,可以形象地理解为将一纸平面裹成一个有体积的单位球。经过这样一次空间与空间之间的转化,有利于我们更形象地看待某些平面上比较抽象的关系。并且,对一个无穷大的平面,也可以将其有限化,这有助于我们对平面上一些性质的理解。致谢:在本文的问题研究过程中,得到了华中师范大学数学与统计学学院的刘敏思老师的精心指导,特此深表谢意参考文献:1 方企勤复变函数教程M北京:北京大学出版社,20057-162 余家荣复变函数(第三版)M北京:高等教育出版社,20051-10
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