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2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科) 2012.4本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分考试用时 120 分钟 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分 1集合 mi *nN(其中 i 是虚数单位)中元素的个数是 A1 B2 C4 D无穷多个 2设随机变量 ,若 ,则 c 等于 A0 B1 C2 D3 3已知命题 p:“存在正实数 a,b,使得;lg(ab)lgalgb ”;命题 q:“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内” 则它们的真假是 Ap ,q 都是真命题 Bp 是真命题,q 是假命题 C p, q 都是假命题 Dp 是假命题,q 是真命题 4在学校的一次演讲比赛中,高一、高二、高三分别有 1 名、2 名、3 名同学获奖,将这六名同学排成一排合影,要求同年级的同学相邻,那么不同的排法共有 A6 种 B36 种 C72 种 D 120 种 5设 ,,若 a,1,b 成等比数列,且 c,1,d 成等差数列,则下列不等式恒成立的是 6设函数 若 f(x)的值域为 R,则常数 a 的取值范围是 7如图 1,直线 l 和圆 c,当 l 从 0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 900)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是 8如果函数 yx 1 的图象与方程 的曲线恰好有两个不同的公共点,则实数 的取值范围是 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题:第 9、10 、11、12、13 题为必做题 9在实数范围内,方程x x11 的解集是 10某机器零件的俯视图是直径为 24 mm 的圆(包括圆心) ,主视图和侧视图完全相同,如图 2 所示则该机器零件的体积是_mm 3(结果保留 ) 11已知平面向量 a,b 满足条件 ab(0,1) ,ab(1,2) ,则 ab 12执行图 3 中程序框图表示的算法,若输入 m=5533,n=2012 ,则输出 d(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:” )13某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验 根据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法求得回归方程 现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题 14 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知直线 把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分,则常数 a 的值是 15 (几何证明选讲选做题)如图 4,AB 是圆 O 的直径, 弦 AD 和 BC 相交于点 P,连接 CD若APB120, 则CDAB等于 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 (本小题满分 12 分) 已知函数(1 )求 f(x)的最大值; (2 )设ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b,若 B2A,且 ,求角 C 的大小 17 (本小题满分 12 分) 深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球) , 3 个是旧球(即至少用过一次的球) 每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回 (1 )设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望; (2 )求第二次训练时恰好取到一个新球的概率 18 (本小题满分 14 分) 如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形 ,其中 A 与 A 重合,且 BBDD CC (1 )证明 AD/平面 BBCC,并指出四边形 ABCD的形状; (2 )如果四边形中 ABCD中, ,正方形的边长为 ,求平面 ABCD 与平面 ABCD所成的锐二面角 的余弦值 19 (本小题满分 14 分) 已知数列 满足: ,且(1 )求通项公式 na (2 )设 的前 n 项和为 S n,问:是否存在正整数 m、 n,使得若存在,请求出所有的符合条件的正整数对(m,n) ,若不存在,请说明理由 20 (本小题满分 14 分) 如图 6,已知动圆 M 过定点 F(1,0)且与 x 轴相切,点 F 关于圆心 M 的对称点为 F,动点 F的轨迹为 C (1 )求曲线 C 的方程; (2 )设 是曲线 C 上的一个定点,过点 A 任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线 C 相交于另外两点 P 、 Q 证明:直线 PQ 的斜率为定值; 记曲线 C 位于 P 、Q 两点之间的那一段为 l若点 B 在 l 上,且点 B 到直线 PQ 的距离最大,求点 B 的坐标 21 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)x xlnx , ,其中 表示函数 f(x)在xa 处的导数,a 为正常数 (1 )求 g(x)的单调区间; (2 )对任意的正实数 ,且 ,证明: (3 )对任意的2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)参考答案及评分标准 2012.4一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A C D A D B二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题9 0,1 10 280 11 1 12 03 13 68(注:第 9 题答案也可以写成 0|x,如果写成 x,不扣分 )(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题14 (坐标系与参数方程选做题) 1 15 (几何证明选讲选做题 ) 21三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 (本小题满分 12 分)已知函数 )6cos(in)(xxf , R(1 )求 的最大值;(2 )设 ABC中,角 、 的对边分别为 a、 b,若 AB2且 )6(fab,求角 C的大小解:(1) )6cos(in)(xxf xxsin1co23sin 2 分213)6( (注:也可以化为 )3cos(x) 4 分所以 )(xf的最大值为 6 分(注:没有化简或化简过程不全正确,但结论正确,给 4 分)(2 )因为 )6(2Afab,由( 1)和正弦定理,得 AB2sin3si7 分又 B,所以 2sin3si,即 A2cosi, 9 分而 A是三角形的内角,所以 0,故 in3, ta, 11 分所以 6A, 32B, 2BAC 12 分17 (本小题满分 12 分)深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球) ,3 个是旧球(即至少用过一次的球) 每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回(1 )设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望;(2 )求第二次训练时恰好取到一个新球的概率解:(1) 的所有可能取值为 0,1,2 1 分设“第一次训练时取到 i个新球(即 i) ”为事件 iA( 0,1 ,2) 因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以 5)0()2630CPA, 3 分111, 5 分5)2()632 7 分所以 的分布列为(注:不列表,不扣分 )0 1 2P535的数学期望为 23150E 8 分(2 )设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 AB210而事件 BA0、 1、 2互斥,所以, )()()()( 210PAPP由条件概率公式,得 535|()( 263000 C为, 9 分81|41111ABPA, 10 分535|()( 261222 为 11 分所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为75381253)(210 为BAP 12 分18 (本小题满分 14 分)如图 5,已知正方形 CD在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形 DCBA,其中A与 重合,且 (1 )证明 /平面 B,并指出四边形 DCAB的形状;(2 )如果四边形 A中, 2, 5,正方形 AB的边长为 6,求平面 C与平面 所成的锐二面角 的余弦值证明:(1)依题意, 平面 ,平面 DCB,平面 A,所以 /DCB 2 分(法 1)在 上取点 E,使得 ,连结 E, ,如图 51 因为 /,且 ,所以 C是平行四边形, C/,且 DE又 ABD是正方形, AB,且 ,所以 E/,且 ,故 是平行四边形, 4 分从而 ,又 E平面 , 平面 CB,所以 /平面 C 6 分四边形 AB是平行四边形(注:只需指出四边形 DA的形状,不必证明) 7 分(法 2)因为 /D, 平面 , 平面 ,所以 /平面 因为 C是正方形,所以 BCA/,又 平面 CB, 平面 CB,所以 /A平面 B 4 分而 平面 , 平面 D, DA,所以平面 /D平面 ,又 平面 ,所以 /平面 6 分四边形 C是平行四边形(注:只需指出四边形 CB的形状,不必证明) 7 分解:(2)依题意,在 Rt AB中, 1)5(6 222,在 Rt A中, )(6 2D,所以 301 B15图 CD)(ABC E(注:或 312 BDEC) 8 分连结 AC, ,如图 52,在 Rt 中, )( 22A所以 22B,故 10 分(法 1)延长 , 相交于点 F,则 3CF,而
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