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矩阵的运算及其运算规则一、矩阵的加法与减法1、运算规则 设矩阵 , ,则简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的2、 运算性质 (假设运算都是可行的) 满足交换律和结合律交换律 ; 结合律 二、矩阵与数的乘法1、 运算规则 数 乘矩阵 A,就是将数 乘矩阵 A 中的每一个元素,记为 或 特别地,称 称为 的负矩阵2、 运算性质 满足结合律和分配律结合律: ()A=(A) ; (+)A =A+A分配律: (A+B)=A+B典型例题 例 6.5.1已知两个矩阵 满足矩阵方程 ,求未知矩阵 解由已知条件知三、矩阵与矩阵的乘法1、 运算规则 设 , ,则 A 与 B 的乘积 是这样一个矩阵:(1) 行数与(左矩阵)A 相同,列数与(右矩阵)B 相同,即 (2) C 的第 行第 列的元素 由 A 的第 行元素与 B 的第 列元素对应相乘,再取乘积之和典型例题 例 6.5.2设矩阵 计算 解 是 的矩阵设它为 想一想:设列矩阵 ,行矩阵 , 和 的行数和列数分别是多少呢 是 33 的矩阵, 是 11 的矩阵,即 只有一个元素课堂练习 1、设 , ,求 2、在第 1 道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是 A 在左边,B 在右边,称为 A 左乘 B 或B 右乘 A如果交换顺序,让 B 在左边,A 在右边,即 A 右乘 B,运算还能进行吗?请算算试试看并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算3、设列矩阵 ,行矩阵 ,求 和 ,比较两个计算结果,能得出什么结论吗?4、设三阶方阵 ,三阶单位阵为 ,试求 和,并将计算结果与 A 比较,看有什么样的结论解: 第 1 题 第 2 题对于 , 求 是有意义的,而 是无意义的结论 1只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数右矩阵的行数第 3 题是 矩阵, 是 的矩阵结论 2在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序即使在 与 均有意义时,也未必有 = 成立可见矩阵乘法不满足交换律第 4 题计算得: 结论 3方阵 A 和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为 A,即 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在我们普通乘法中的作用典型例题 例 6.5.3设 ,试计算 和 解 结论 4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵由此若 ,不能得出 或的结论例 6.5.4利用矩阵的乘法,三元线性方程组 可以写成矩阵的形式 若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为 , , ,则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式: 2、 运算性质(假设运算都是可行的) (1)结合律 (2)分配律 (左分配律);(右分配律)(3) 3、 方阵的幂 定义:设 A 是方阵, 是一个正整数,规定 , 显然,记号 表示 个 A 的连乘积四、矩阵的转置1、 定义 定义:将矩阵 A 的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵,记作 或 例如,矩阵 的转置矩阵为 2、运算性质(假设运算都是可行的)(1) (2) (3) (4) , 是常数典型例题 例 6.5.5 利用矩阵 验证运算性质: 解 ;而所以定义:如果方阵满足 ,即 ,则称 A 为对称矩阵对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等五、方阵的行列式1、定义 定义:由方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵 A 的行列式,记作 或 2 、运算性质 (1) (行列式的性质)(2) ,特别地: (3) ( 是常数,A 的阶数为 n)思考:设 A 为 阶方阵,那么 的行列式 与 A 的行列式 之间的关系为什么不是 ,而是 ?不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下 和 例如 ,则 于是 ,而 思考:设 ,有几种方法可以求 ?解 方法一:先求矩阵乘法 ,得到一个二阶方阵,再求其行列式方法二:先分别求行列式 ,再取它们的乘积
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