- 1 -离散型随机变量的期望、方差和正态分布【知识回顾】1.期望：若离散型随机变量 ，当 =xi的概率为P（ =xi）= Pi（i=1 ，2，n，），则称E = xi pi为 的数学期望，反映了 的平均值.2.方差：称D =（x iE ） 2pi为随机变量 的均方差，简称方差. 叫标准差，反映了 的D离散程度.3.性质：（1）E（a +b）= aE +b，D（a +b）=a 2D （a、b为常数）.（2）若 B（n，p），则E =np，D =npq（q=1p）.4总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线 位位位位位位b位位O位位/位位a它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间( a， b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线 x=a， x=b及 x轴所围图形的面积观 察 总 体 密 度 曲 线 的 形 状 ， 它 具 有 “两 头 低 ， 中 间 高 ， 左 右 对 称 ”的 特 征 ， 具 有 这 种 特征 的 总 体 密 度 曲 线 一 般 可 用 下 面 函 数 的 图 象 来 表 示 或 近 似 表 示 ：),(,21)(2)(xexf式 中 的 实 数 、 是 参 数 ， 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 ， 函 数 称 为 正 态 函)0 )(xf数 ， 的 图 象 称 为 正 态 曲 线 正态分布一般记为 奎 屯王 新 敞新 疆)(f ),(2N5正态分布 是由均值和标准差唯一决定的分布,随机变量X的取值区间在（a，b上2N的概率等于总体密度函数在a，b上的定积分值.也就是随机变量X的取值区间在（a，b上的概率等于正态曲线与直线x=a，x=b及x轴所围成的封闭图形的面积.6正 态 曲 线 的 性 质 ：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交 奎 屯王 新 敞新 疆（2）曲线关于直线x=对称 奎 屯王 新 敞新 疆（3）当x=时，曲线位于最高点 奎 屯王 新 敞新 疆（4）当x时，曲线上升（增函数）；当x时，曲线下降（减函数） 奎 屯王 新 敞新 疆并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 奎 屯王 新 敞新 疆（5）一定时，曲线的形状由确定 奎 屯王 新 敞新 疆越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小曲线越“高”总体分布越集中.- 2 -7.通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 奎 屯王 新 敞新 疆正态分布的随机变量取值在（-，+ ， （-2，+2， （-3，+3上的概率区间 取值概率（，+ 68.3（2，+2 95.4（3，+3 99.7注 意：在实际应用中，通常认为服从于正态分 布的随机变量X只取（3，+3）之间的值（在此区间以外取值的概率只有0.0026），并简称之为3原则.【基础练习】1.设投掷1颗骰子的点数为 ，则（ B ）A.E =3.5，D =3.52 B.E =3.5，D = C.E =3.5， D =3.5 D.E =3.5，D = 1235 16352.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为 ，则下列结论正确的是（A）A.E =0.1 B.D =0.1 C.P（ =k）=0.01 k0.9910kD.P（ =k）=C 0.99k0.0110k103.已知 B（n，p），且E =7，D =6，则p等于（ A ）A. B. C. D.71651414.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为 ，则D 等于（ C ）A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.8045若X N（60，8 2），则X位于区间（60，68的概率是（ D ）A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D. 0.3413【典例解析】例1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为 10253402.31 1 2 3 10 20 30 4050 参加人数 活动次数- 3 -（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为221054019CP（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件 ，“这两人中一人参加1次活动A B，另一人参加3次活动”为事件 易知C； ；()()PPB110504259(2)(PC104289的分布列： 0 1 2P49589的数学期望： 41582093E例2.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率 .E解：（）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有 410.298PA（） 可能的取值为0,2， ，1720369CP1372059C23019CP5E记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率所以商家拒收这批产品的概率为13627190P2795【巩固提高】1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量 的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为（ B ）A.n=4， p=0.6 B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1 - 4 -2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目 的期望为（ C ）A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.43.已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ A ）2()N， (4)0.8P (0)PA B C D，0.160.3.64.在某项测量中，测量结果 服从正态分布 若 在 内取值的概率为0.4，2(1)， (1)，则 在 内取值的概率为 0.8 (2)，5.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_ _时，成功次数的标准差2的值最大，其最大值为_5_.6某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ，且各轮问题能否正确543回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）解法一：（）记“该选手能正确回答第 轮的问题”的事件为 ，则 ，i (123)iA， ， 14()5PA， ， 该选手被淘汰的概率23()5PA32()12112123()()()APAP405（） 的可能值为 ， ，3， ， 1()(5121248()()PAPA33()的分布列为1 2 3P585125182735E解法二：（）记“该选手能正确回答第 轮的问题”的事件为 ，则 ，i (123)iA， ， 14()5PA- 5 -， 23()5PA32()该选手被淘汰的概率 123123()()()PAPA4210155（）同解法一