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第二章 质点动力学Chapter 02 Kinetics第 1页第 2页动量、冲量、动量定理与动量守恒定律1动能、势能、机械能2动能定理、功能原理与机械能守恒3质点的角动量、角动量定理与角动量守恒4牛顿第一定律( Newtons first law):任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状态,除非有力加于其上迫使它改变这种状态。惯性 (inertia): 物体保持其运动状态不变的性质。惯性参照系的概念力 (force): 物体间相互作用,是改变速度的原因。第一节 牛顿运动定律1.牛顿运动三定律第 3页动量 (momentum): = 牛顿第二定律( Newtons second law):“运动的改变和所加的动力成正比,并且发生在这力所沿直线的方向上。 ” “ 运动的量是用速度和质量一起来度量的 ” 。理解牛顿第二定律的要点:( 1) 质点 惯性系( 2) 瞬时性 矢量性( 3) m不变 时 , = ( 4)力为合力 , = 1 + 2 + = d( )d = d d第 4页牛顿第三定律( Newtons third law):“每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗;或者说,两个物体之间的相互作用永远相等,并且指向对方。”( 1)作用力和反作用力同时存在。( 2)分别作用于两个物体上,不能抵消。( 3)属于同一种性质的力。12 = 21第 5页电磁力: 除万有引力外,几乎所有宏观力都是电磁力。长程力。引力: 强度仅为电磁力的 1/1037强力: 原子核内的短程力,其强度是电磁力的百倍。力程约为 10-15m弱力: 存在于基本粒子之间,强度只是强力的一百万亿分之一。力程:约为 10-17m2.基本力简介第 6页第一类问题:已知质点的运动规律,即已知质点的运动学方程 = () ,求作用于质点的力。将运动学方程对时间求二阶导数,算出质点的加速度,进而便可求得作用于质点的力。由 牛顿第二定律2ddrF m a mt22222d si n( ) c os( )d si n( ) c os( )F m A t i B t jtm A t i m B t jmr 3.牛顿定律的应用 动力学中的两类基本 问题例 1 一个质量为 m的质点在 xy平面上运动,运动方程为 : = sin() + cos 式 中 A、 B、 w为常数,求物体受到的作用力。第 7页第二类问题:已知作用于质点的力和初始条件,求质点的运动现律 。这 类问题情况比较复杂,须据受力情况来定:如果力是恒力,或是时间、速度的函数,这时,或用“隔离体法”求解,或对动力学方程分离变量后积分;如果力是坐标 x的函数,则需先作变量变换,再利用分离变量求积分的方法来解决。ddvm kvt (在直角坐标系中,式 中负号表示力和速度的方向相反 )例 2质量为 m的轮船在停靠码头之前停机,这时轮船的速率为 v0。设水的阻力与轮船的速率成正比,比例系数为 k,求轮船在发动机停机后所能前进的最大距离。第 8页 = ddvm kvt 000ddLv m v k xd d dd d dv x vm m v k vx t x 作如下变换 :分离变量后两边积分,并设所能前进的最大距离为 L:即可解得:0mLvk第 9页例 3 如图一个质量为 m的均匀细绳长度为 l,将其一端绕固定在光滑水平面上以均匀角速度旋转。设绳子不可伸长,试求距离固定端半径为 R处绳中的张力大小。( P35 2-16)第 10页以 O原点,沿细绳方向 为 r轴, 以 +d部分 为研究对象,则它做圆周运动,受力 情况图 所示。 则 : +df ( +d) = 2d = 2 d对两边 积分 可以得到 0d = 2 d = 22 2 2 = = 在自然坐标系中可以表示为:将一个实际问题(对应一个有限过程) 分解为无限多个无限小的过程(元过程), 通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论,并将该结论对整个有限的过程进行叠加(积分),从而得到问题的解,这是物理学研究问题的一般方法。将牛顿第二定律改写为: d = d 式中乘积 d表示力 在 dt时间内的积累,称为在 dt时间内质点所受合 外力 的冲量。上式表明,质点所受合外力在 dt时间内的冲量等于同一时间内质点动量的增量,也称为动量定理的微分形式 。第二节 力的时间积累效应 动量守恒定律1.质点的动量定理第 11页令 = 0 d, 表示力 在 t0 到 t 内的冲量( impulse)我们可以得到动量定理的积分形式:通常情况下,冲量的方向与动量的方向不相同,而是与动量增量的方向相同。由力的冲量( ) 、质点的初动量( 0)和末动量( )三者组成一个矢量三角形。如果整个过程持续的时间为从 t0 时刻到 t 时刻,我们将上述结论对整个过程进行叠加得到:0d = 0d = 0第 12页冲量和动量都是矢量,我们可以将动量定理在直角坐标系中进行分解,得到的分量式为:冲力( impulsive force) :t0 tFtF平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程中的作用力。 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0第 13页 = 12 1 2 =2 12 1由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 我们将牛顿第二定律应用在由两个质点组成的质点系上:12f 21fm2m1 1F2F由于: 12 + 21 = 0, 容易得 :2.质点系的动量定理1 + 12 = d 1d2 + 21 = d 2d1 + 2 = d 1d +d 2d = dd( 1 + 2)第 14页很容易将上式推广到 N 个质点所组成的质点系的情况 :质点系动量定理的微分形式 :第 15页=1 + =1 = dd =1 =1 = 0 =1 = dd =1=1d = d =1令: = =1 , 为质点系内所有质点动量的和令: = =1 , 为系统所受合外力上式表明:系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。显然,外力可以改变系统的总动量,而内力不会影响系统的总动量,但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。 = d d第 16页如果质点系所受外力的矢量和为零 ,即:则: = =1 =常 矢量动量守恒定律 当一个质点系所受外力的矢量和为零时,该质点系的动量就保持不变。3.动量守恒定律 = =1 = 0第 17页由于力和动量都是矢量,因此动量守恒定律在直角坐标系中可以表示为: = 0, = =常量 = 0, = =常量 = 0, = =常量第 18页例 3 质量为 m的匀质柔软链条,全长为 L,手持一端,使下端离地面的高度为 h,然后由静止释放,让其自由下落到地面。求链条落在地面上的长度为 L/3时,地面所受链条的作用力大小 。第 19页L-l+Lh链条落到地上 l后,其速度大小为 v,考虑此时的一元过程:在 dt时间内,落下一小段 dl,其速度大小由 v变为 0,设此时链条受到地面的冲力的大小为 f。 以向下的方向为正方向,由动量定理得:0 ( d ) dm l v f tL2 ( )v g h lddmlfvLt2 2 ( )mmv g h lLL 地面受到链条的作用力为 f 的反作用力和重力的和,设为F: = +( ) ( 2 3 )m m gF f l g h lLL 其大小为:当链条落在地面上的长度为 L/3时:2 hLF m gL第 20页例 4 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力,分析火箭上升过程中速度大小的变化。第 21页解: 考虑 某一时刻,火箭和燃料的总质量及速度分别为: m, ,考察此时的一个元过程:经 dt时间后,火箭以对地喷射速度u喷射 -dm的燃料,同时火箭速度为 +d 。对该元过程应用动量定理得: d d d dm m v v u m m v f t d d dm v v u m f t 第 22页则: d d dcm v v m m g t 令: = 表示 燃料相对火箭的喷射速度,又称喷气速度 ,由火箭的发动机决定 。 则 其大小为: = + d d dm v v u m f t 设发射的一瞬间,火箭和燃料的总质量为 M0,燃料喷射完后,火箭的质量为 Mf ,速度大小为 v,经历的时间为 tf000dddffv M tc Mmv v g tm 0lncffMv v g tM如何提高火箭的末态速度?我们再从力对质点作用的空间过程考虑问题。 dr Fab考察其中一个元过程,由于在此元过程中,位移趋于 0,因而此元过程经历的时间也必然趋于 0。因此,可以认为该元过程的位移为一直线,此元过程中的力也可以看做恒力。元功 任一元过程中力的功。它定义为: ddA F r第 23页第三节 力的空间积累效应 机械能守恒定律1. 功 ( Work) 功率( Power)任意一个有限的过程都可以看作无限多的元过程的和,因此任意一个有限过程的功就是元功的和,这个和就是元功的积分: = = 在直角坐标系中,上式可以表示为: ( ) ( d d d )d d db b ba a abx y zax y zx y zx y zA F i F j F k x i y j zkF x F y F z 合力 = 的功:功率 功对时间的变化率,表示做功的快慢,单位为瓦特( W)第 24页 = = d = d = = dd = d d = XYRO000dd ( ) ( d d )ddA f
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