数字信号处理实验报告实验名称： 离散傅里叶变换及其特性验证 学号： 姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT）的计算方法和编程技术。2、掌握离散傅立叶变换（DFT）的计算方法和编程技术。3、理解离散傅立叶变换（DFT）的性质并用 MATLAB 进行验证。二、实验原理与计算方法1、离散时间傅立叶变换如果序列 x(n)满足绝对可和的条件，即 ，则其离散时间傅立叶变换定义nx|)(为：（1）nnjj eFeX)()(如果 x(n)是无限长的，则不能直接用 MATLAB 由 x(n)计算 X(ej)，但可以用它来估计X(ej)表达式在0, 频率区间的值并绘制它的幅频和相频（或实部和虚部）曲线。如果 x(n)是有限长的，则可以用 MATLAB 对任意频率 处的 X(ej)进行数值计算。如果要在0, 间按等间隔频点估计 X(ej)，则（1）式可以用矩阵向量相乘的运算来实现。假设序列 x(n)在 (即不一定在 0, N-1)有 N 个样本，要估计下列各点上的 X(ej)：N1 Mkk.,210， 它们是0, 之间的(M+1)个等间隔频点，则（1）式可写成：（2）nxeXNllkMjjl .,)()(1， 将x(n l)和 X(ejk)分别排列成向量 x 和 X，则有：X=Wx （3）其中 W 是一个(M+1)N 维矩阵： kneNknMj .,210;1将k和 n排成列向量，则 Tjxp在 MATLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（ 3）式取转置得：knxXTTMjep其中 nTk 是一个 N(M+1)维矩阵。用 MATLAB 实现如下：k=0:M; n=n1:n2;X=x*(exp(-j*pi/M).(n*k);2、离散傅立叶变换一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：（4） 10,)(10NkWnxkXNk（5）)(nk以列向量 x 和 X 形式排列 x(n)和 X(k)，则式（4） 、 （5）可写成：X=WNx*1其中矩阵 WN 由下式给出： 111,0 NNnNnkN W 可由下面的 MATLAB 函数 dft 和 idft 实现离散傅立叶变换运算。function Xk = dft(xn,N)% Computes Discrete Fourier Transform% -% Xk = dft(xn,N)% Xk = DFT coeff. array over 0 = k = N-1% xn = N-point finite-duration sequence% N = Length of DFT%n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . nk; % DFT matrixXk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficientsfunction xn = idft(Xk,N)% Computes Inverse Discrete Transform% -% xn = idft(Xk,N)% xn = N-point sequence over 0 = n = N-1% Xk = DFT coeff. array over 0 = k = N-1% N = length of DFT%n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . (-nk); % IDFT matrixxn = (Xk * WNnk)/N; % row vector for IDFT values3、离散傅立叶变换的性质（1）线性性质： )()()( 2121 nxbDFTnxanbxaDFT注意：若 x1(n)和 x2(n)分别是 N1 点和 N2 点的序列，则选择 N3= max (N1, N2)，将它们作 N3点 DFT 处理。（2） 周期性：离散傅立叶变换(DFT)是周期序列 DFS 取主值区间形成的，因此序列及其 DFT 具有特性 和 。通常将结果)( )(kX)(nx)()(kX间的 量值表示在 k 的负值区间。1/N)(（3）对称性：实序列 的离散傅立叶变换可以表示为 ，其中nx )()()(jkir实部为偶对称，虚部为奇对称，幅值 为偶对称，相位)()(2XkXir为奇对称。)(arctn)(kXkri如果序列 是实偶对称序列，则 也是实偶对称，即 ；如果序列x)(k )(kXN是实奇对称序列，则 是虚奇对称，即 ；如果序列 是虚偶对)(x)(k )kXNnx称序列，则 也是虚偶对称，即 ；如果序列 是虚奇对称序列，则)(kXnx是实奇对称，即 。kX)(N根据上述关系，对于实序列 ，则有 ；对于纯虚序列 ，则有nx)(k )(x。)()(kN三、实验内容（1）将实指数函数 抽样，取抽样周期为 1/64，作 64 点 DFT，并作出实部、虚)(tue部和幅频、相频特性曲线。实验代码：n=0:1:63;N=64;Ts=1./N;t=n.*Ts;xn=exp(-t).*ut(t);Xk=dft(xn,N);x1=real(Xk);x2=imag(Xk);x3=abs(Xk);x4=angle(Xk);subplot(411)stem(n,x1)title(实部)subplot(412)stem(n,x2)title(虚部)subplot(413)stem(n,x3)title(幅频)subplot(414)stem(n,x4)title(相频)实验结果：（2）将图 3-2 中的两个连续函数抽样，取抽样周期为 1/32，作 64 点 DFT，验证前述的四种奇偶特性，并作出幅频和相频特性曲线。0 1 te-tu(t)图 3-1 连续时间函数0 1 2 tx(t)图 3-2 两个有限时间连续函数1 0 1 2 tx(t)1 -1 (a) (b) 实验代码：Ts=1/32;N=64;na1=0:1:31;na2=32:1:N-1;k=0:1:N-1;tsa1=na1*Ts;tsa2=na2*Ts;xa1=tsa1;xa2=2-tsa2;xa=xa1 xa2;Xka=dft(xa,N);Xk1=abs(Xka);Xk1_=fft_shift(Xk1);Xk2=angle(Xka);Xk2_=fft_shift(Xk2);subplot(211)stem(k,Xk1_)title(a)的幅频 )subplot(212)stem(k,Xk2_)title(a)的相频 )实验结果：实验代码：Ts=1/32;N=64;nb1=0:1:30;nb2=31;nb3=32:1:N-1;k=0:1:N-1;tsb1=nb1*Ts;tsb2=nb2*Ts;tsb3=nb3*Ts;xb1=tsb1;xb2=0;xb3=2-tsb3;xb=xb1 xb2 xb3;Xkb=dft(xb,N);Xk1=abs(Xkb);Xk1_=fft_shift(Xk1);Xk2=angle(Xkb);Xk2_=fft_shift(Xk2);subplot(211);stem(k,Xk1_);title(b) 的幅频);subplot(212);stem(k,Xk2_);title(b) 的相频);实验结果：