目 录第三章 曲面的第一基本形式27 3.1 正则参数曲面27一、参数曲面27二、参数变换28三、正则曲面29四、正则曲面的例子30 3.2 切平面和法线33一、曲面的切空间，切平面和法线33二、连续可微函数的等值面34三、微分的几何意义35 3.3 第一基本形式35 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性38 3.5 保长对应和保角对应40一、曲面到曲面的连续可微映射40二、切映射40三、保长对应(等距对应)42四、保角对应(共形对应)44 3.6 可展曲面45第三章 曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时. 难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面的一个区域(region，即连通开集)到中的一个连续映射的象集称为中的一个参数曲面(parameterized surface). 在中取定正交标架，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面可以通过参数(parameter)表示成参数方程 ， (1.1)或写成向量参数方程，. (1.2)为了使用微积分工具，本书中要求向量函数都是3次以上连续可微的. 图3.1-曲线：让固定，变化，向量的终点描出的轨迹. -曲线，参数曲线网. 直观上，参数曲面就是将平面中的区域经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间中的结果. 曲纹坐标，即.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点与该点的参数之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件. 定义 设为中的参数曲面. 如果在点，两条参数曲线的切向量 ， (1.3)线性无关，即，则称或是的正则点(regular point). 如果上每一点都是正则点，则称是正则参数曲面.以下总假定是正则曲面. 在正则曲面上每一点，由于， (1.4)通过重新选取正交标架，不妨设.根据反函数定理，存在的邻域，使得有连续可微的反函数，即有.此时有的邻域和同胚映射. 从而有连续映射. 于是在的邻域内可用参数方程表示为， (*) 或表示为一个二元函数的图像，其中. (1.5)上式称为曲面片的Monge形式，或称为的显式方程. 从(*)式可见是一一对应，从而也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面与其定义域之间总是一一对应的，从而参数可以作为曲面上点的曲纹坐标. 反之，由显式方程表示的曲面总是正则的：如果 ， (1.6)则，从而.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面，规定所指的一侧为的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换 (1.8)满足：(1) 是的3次以上连续可微函数；(2) 处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换. 根据复合函数的求导法则，在新的参数下， .因此 . (1.10)上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变. 三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面. 将与等同，赋予普通的度量拓扑，即以的标准度量确定的拓扑.定义1.1 设是的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点，存在在中的一个邻域(，其中是在中的邻域)，和中的一个区域，以及同胚 ，使得是中一个正则参数曲面，则称是中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域和同胚的逆映射合在一起，将称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart). 注 的拓扑是作为的子集从诱导的相对拓扑，即作为的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化，满足，那么正则参数曲面就有两个参数表示和. 由此自然产生了参数变换.利用正则参数曲面的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的. 直观上看，正则曲面是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化(为指标集)，使得构成的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable). 除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.四、正则曲面的例子图3.2例1.1 圆柱面(cylinder) ，. (1.15)其中.当时，圆柱面上少了一条直线.如果取，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线. 显然是任意阶连续可微的. 又，.所以圆柱面是正则曲面. 圆柱面也可以用一个坐标卡表示：，.所以圆柱面是可定向的. 图3.3例1.2 球面(sphere) ，参数方程为，. (1.16)其中. 由于，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)图3.4例1.3 旋转面(revolution surface) 设是平面上一条曲线，其中. 将绕轴旋转得到的旋转面参数方程为 ，. (1.18)旋转面上的u-曲线称为纬线圆，v-曲线称为经线. 因为，所以当是正则曲线，并且时，是正则曲面. 图3.5例1.4 正螺面(hericoid) 设两条直线和垂直相交. 将直线一方面绕作匀速转动，同时沿作匀速滑动，的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线为x轴，为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为，. (1.19)由，可知正螺面是正则曲面. 例1.5 直纹面(ruled surface) 简单来说，直纹面就是由单参数直线族构成的曲面. 设 ()是一条空间正则曲线. 在上对应于参数的每一点有一条直线，其方向向量为. 这条直线的参数方程可以写成.让在区间内变动，所有这些直线就拼成一个曲面，称为直纹面. 它的参数方程为，. (1.20)曲线称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面的-曲线. 为了保证直纹面的正则性，要求. (1.21)因为直母线的方向向量，通过参数变换，可设. 再通过选取新的准线，其中是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即. 因为，只须取即可.1. 当为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面称为柱面(cylindrical surface). 2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面称为锥面(cone). 3. 当时，称为切线曲面(tangent surface)，由准线的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在3.6还要进一步讨论. 课外作业：习题2，5 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设是中一个正则曲面，是曲面上点的曲纹坐标. 设是上任意一个固定点. 则上过点的一条可微(参数)曲线可以表示为， (2.2)其中 (2.1)是中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足，. 因此，正是点的位置向量. 曲线在点的切向量为. (2.3)图3.1定义2.1 曲面上过点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面在点的一个切向量(tangent vector). 命题 曲面在点的切向量全体记为，它是一个2维实向量空间，是的一个基. 事实上，称为曲面在点的切空间(tangent space). 证明 记. 由(2.3)可见. 反之，对任意，令. 则是过的可微曲线，并且.所以. 因此，从而.显然按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于线性无关，它们构成的基. 在空间中，经过点，以两个不共线向量为方向向量的平面称为曲面在点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为，. (2.6)它的单位法向量(unit normal vector)为 . (2.7)经过点且垂直于在点的切平面的直线称为曲面在点的法线(normal line). 它的参数方程为，. (2.8)曲面在点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？)曲面上的自然标架：. 图3.6二、连续可微函数的等值面设是一个区域，是定义在上的连续可微函数. 对于一个常数，集合称为函数的等值面. 如果在的每一点，都有， (2.9)则等值面是一个正则曲面. 事实上，设在，有，则方程 (2.10)在点的邻近确定了一个隐函数，使得，. 于是等值面局部地可以用参数方程表示为 . (2.11)由于，等值面是正则曲面. 在等值面上每一点，梯度向量是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底. 由(2.10)两边分别对求偏导数并注意，得，即有，.三、微分的几何意义设曲面的参数方程为. 微分得到 . (2.13)将看作4个独立的变量，则对于(2.13)中的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求不能全为0. 变量是切向量关于切空间的基底的分量，因此是向量空间上的线性函数，即(对偶空间). 事实上，按照定义.同理，. 注. 由于切空间的自然基底一般不是单位正交的，在把看作切向量在这个基