3.2.2 最大值、最小值问题（第1课时）周至县第三中学 孟聪敏 北师大版数学（选修2-2）【教材分析】1本节教材的地位与作用本节是北师大版数学（选修2-2）第三章第四节内容，是在学习了第二章变化率与导数之后，第四章定积分之前的一节课，起到了承前启后的作用。本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义2教学重点 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.3教学难点高二年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法4教学关键本节课突破难点的关键是：建立函数模型，由此首先审清题意，明确常量与变量及其关系， 再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围. 理解方程f(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点【教学目标】1知识和技能目标（1）进一步理解导数概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型.（2）用导数解决实际中简单的最优化问题.2过程和方法目标（1）进一步体会和应用极限思想，学会用极限的思想分析并解决问题.（2）通过利用导数解决实际生活中最优化问题的基本过程和步骤的形成，培养学生的算法思想.3情感和价值目标（1）通过不同背景的问题解决最后统一为导数模型的过程，认识到数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感.1 / 8（2）通过利用导数方法解决最优化问题的过程，认识到导数方法的作用.【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学【学法指导】对于求函数的最值，高二学生已经具备了一些知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用【教学过程】教学环节教 学 内 容设 计 意 图一、创 设 情 境，铺 垫 导 入1问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值例如： 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x，则箱高h=60-x/2箱子容积:V(x)=x2h=(60x2x3)/2(0x60)2引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值 以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情实际问题中，函数和自变量x范围的设置，都紧扣本节课的核心：确定闭区间上的连续函数的最（大）值 通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系提出问题后,引导学生发现,求所列函数的最大值是以前学习过的方法不能解决的,由此引出新课,使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫.教学环节教 学 内 容设 计 意 图二、合 作 学 习，探 索 新 知1我们知道，在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？问题2：如果a，b上不连续一定还成立吗？2如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间a，b上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？3以上分析，说明求函数f(x)在闭区间a，b上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中对取得最大值最小值的两种可能位置的结论，在高中阶段不作证明，为使学生形成更深刻的印象，更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察各种区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质二、合 作 学 习，探 索 新 知求a，b上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：（1）求函数f(x)在开区间（a，b）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值例1 ： 求函数y= x42 x25在区间2，2上的最大值与最小值解： y=4 x34x，令y=0，有4 x34x=0，解得：x=1,0,1当x变化时，y，y的变化情况如下表：x2(-2,-1)1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y/000y1345413从上表可知，最大值是13，最小值是4思考：求函数f(x)在a,b上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤可以改为：（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值解法2：y=4 x34x令y=0，有4x34x=0，解得：x=1,0,1x=1时，y=4,x=0时，y=5, x=1时，y=4又 x=2时，y=13，x=2时，y=13所求最大值是13，最小值是4【课堂练习】：求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：（1）y=xx3,x0,2（2）y=x3x2x，x2,1探索出最大值和最小值存在的可能位置后，求法边呼之欲出，这时可以让学生给出求解步骤，既锻炼了他们的表达能力，更培养了他们的数学思维能力解决例1的方法并不唯一，还可以通过换元转化为学生熟知的二次函数问题；而这里利用新学的导数法求解，这种方法更具一般性，是本节课学习的重点“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂思考题的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，使得问题的解决更简单明快，更易于操作这一环节旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力 对例题1用简化后的方法求解，便于学生将它与第一种解法形成对照，更容易被学生所接受 课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯对学生完成联系情况进行评价，使所有学生都体验到成功或得到鼓励，并据此调控教学教学环节教 学 内 容设 计 意 图三、指 导 应 用，鼓 励 创 新例2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长X为多少时？箱子容积V最大？最大容积V是多少？分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决 在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。例3：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？（如图4）解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得h=，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令S(R)=+4R=0解得，R=从而h=2即h=2R因为只有一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力 例3是利用导数知识解决实际生活中的最优化问题，关键是建立函数模型，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式。让学生认识到数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。四、归纳小结，反馈回授【课堂小结】：1在闭区间a,b上连续的函数f(x)在 a,b上必有最大值与最小值;2求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3 利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.【反馈练习】：1 函数在3，4上的最小值为（ D ） A、64 B、51 C、56 D、612 函数在上的最大值为（ B ）